A:14 Es sei A: (0,∞)→R2×2 definiert durch A(t

J. M¨uller SoSe 2018 08.05.2018 4. ¨Ubung zur Vorlesung Differenzialgleichungen

Abgabe: Bis Dienstag, 15.05.2018, 8:30 Uhr im Kasten E5 E-Geb¨aude

Haus¨ubungen

A13: Es seien I ein offenes Intervall, a₁, a₂, b₁, b₂ : I →R stetig sowie a :=a₁+ia₂ und b :=b₁+ib₂. Zeigen Sie: F¨uru∈I undv = (v₁, v₂)^> ∈R²istϕ= (ϕ₁, ϕ₂)^> :I →R² L¨osung des (reellen) Anfangswertproblems

x⁰ =

a1(t) −a2(t) a₂(t) a₁(t)

x+

b₁(t) b₂(t)

, x(u) = v₁

v₂

genau dann, wenn ϕ₁+iϕ₂ :I →C L¨osung des (komplexen) Anfangswertproblems z⁰ =a(t)z+b(t), z(u) = v₁+iv₂

ist.

A:14 Es sei A: (0,∞)→R^2×2 definiert durch

A(t) =

1/t sin(t)

−sin(t) 1/t

(t >0).

Berechnen Sie f¨urv = (π/2,0)^>undv = (0, π/2)^>die maximalen L¨osungenϕ(·, π/2, v) des Anfangswertproblems

x=A(t)x=

1/t sin(t)

−sin(t) 1/t

x, x(π/2) =v

und ¨uberlegen Sie sich, dass die beiden L¨osungen ein Fundamentalsystem der linea- ren Gleichung x⁰ =A(t)xdarstellen.

A15: Es sei I ⊂ R ein offenes Intervall. Zeigen Sie: Sind B : I → K^m×d, C : I → K^d×p differenzierbar an a ∈I, so gilt

(BC)⁰(a) = (B⁰C+BC⁰)(a).

A16: Es sei I ⊂ R ein offenes Intervall. Ist A : I → K^d×d stetig, so ist Φ : I → K^d×d genau dann eine Fundamentalmatrix der Gleichung x⁰ =A(t)x, wenn gilt:

Φ⁰(t) = A(t)Φ(t) (t∈I) und det Φ(u)6= 0 f¨ur ein u∈I.