Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Sommersemester 2017 Universität Bielefeld
Präsenzaufgaben zu Mathematik für Biologen und Biotechnologen Blatt XIV vom 19.07.17
Aufgabe XIV.1
Betrachtet werde das Lotka-Volterra’sche Räuber-Beute-Modell b0(t) =αb(t)−γb(t)r(t),
r0(t) =−βr(t) +δr(t)b(t).
a) Bestimmen Sie alle konstanten Lösung der Differentialgleichung für α= 2, β= 1, γ= 1, δ= 2.
b) Angenommen es gebe keine Räuber, d.h.r(t) = 0 für alle t.
Bestimmen Sie für alle α, β, γ und δ die Lösung der Differentialgleichung für die Anfangspopulation (b(0), r(0)) = (50,0).
Aufgabe XIV.2 Sei
A= 2 0
3 1
.
a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom der Matrix A.
b) Berechnen Sie die Eigenwerte vonA.
c) Berechnen Sie die Eigenvektoren zu den Eigenwerten.
Aufgabe XIV.3
Seif : [0,4]→Rdefiniert durch
f(x) = 7
16x2+ 2.
Bestimmen Sie denjenigen PunktQauf dem Graphen der Funktion, sodass die FlächeA maximal wird.
f
A
f
Q
1 2 3 4
2 4 6 8 10
x f(x)
Aufgabe XIV.4
Bestimmen Siea, b∈R, sodass
π/2
Z
a
sin(x) cos(x)dx= 1 2 und
b
Z
−1
x
2(1 +x2)3 dx= 0.
2
