Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Wintersemester 2015/2016 Universität Bielefeld
Präsenzaufgaben zu Maß- und Integrationstheorie Blatt II vom 29.09.15
Aufgabe II.1
SeiE ={(s, t)⊂R|s, t∈Q}. Zeigen Sie, dass dann gilt B(R) =σ(E).
Aufgabe II.2
a) Sei Ω =R. Bestimmen Sie alleσ-Algebren Aauf Rderart, dass µ:A → {0,1},
µ(A) =
(0, fallsA=∅, 1, fallsA6=∅,
ein Maß auf(Ω,A) definiert.
b) Seien(Ω,A, µ) ein Maßraum undF ∈ A. Zeigen Sie, dass die Abbildung ν :A →[0,∞], ν(A) =µ(A∩F) ein Maß auf(Ω,A) definiert.
Aufgabe II.3
Seien(Ω,A, µ) ein Maßraum mit µ(Ω)<∞ undA, B, C ∈ A. Zeigen Sie:
a) µ(A∆B) =µ(A) +µ(B)−2µ(A∩B), b) |µ(A)−µ(B)| ≤µ(A∆B),
c) µ(A∆C)≤µ(A∆B) +µ(B∆C).
Hierbei bezeichnetA∆B = (A\B)∪(B\A)die symmetrische Differenz der Mengen A undB.
Aufgabe II.4
Seien Ω eine nichtleere Menge und A eine σ-Algebra über Ω. Des Weiteren seien µn, n∈N, Maße auf(Ω,A) und λn,n∈N, nicht-negative reelle Zahlen.
Zeigen Sie, dass dann auch
µ=X
n∈N
λnµn ein Maß auf(Ω,A) ist.
