Aufgabe 1 7 Punkte
a)
dM
dt
=a M
K+M k
w
M J
b) EinnichtlinearesModell, weilder Term R (M)inder DGL nichtlinear
ist.
c)
dM
dt
= a M
K+M k
w
M J
0 = a M
K+M k
w
M J
0 = k
w M
2
+(a k
w
K J)M JK
M 1
1;2
=
(a k
w
K J)
p
(a k
w
K J) 2
4k
w JK
2k
w
M 1
1;2
=
(5kgh 1
) q
(5kgh 1
) 2
4 1
4 h
1
4kgh 1
4kg
2 1
4 h
1
M 1
1;2
= f4kg;16kgg
d) Lösung:
5 10 15 20 25
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5
Die der Fixpunkt M 1
1
= 4kg ist instabil, der Fixpunkt M 1
2
= 16kg
e) Mindestens gleich dem instabilenFixpunkt M
1
=4kg.
M
0
M
1
1
=4kg
f) Diecharakteristische GleichunghatkomplexeLösungen. Estretenkei-
ne Fixpunktemehrauf. DieWachstumsfunktionbleibtimmernegativ,
der Sto X wird somit immeraufgebraucht.
a)
dC
1
dt
= J
V
1 kC
Q
1
V
1 C
1 Q
2
V
1 C
1 +
Q
2
V
1 C
2
dC
2
dt
= Q
2
V
2 C
1 Q
2
V
2 C
2
b)
0 = J
V
1 kC
Q
1
V
1 C
1 Q
2
V
1 C
1 +
Q
2
V
1 C
2
(1)
0 = Q
2
V
2 C
1 Q
2
V
2 C
2
(2)
aus (2)folgt:
C 1
1
=C 1
2
somit wird:
C 1
1
=C 1
2
= J
V1
k+ Q1
V1
=
100kga 1
5km 3
0:6a 1
+ 2km
3
a 1
5km 3
=
100kg
5km 3
=20gm 3
c)
= A
Ausgeschwemmt
A
Abgebaut
= M
Ausgeschwemmt
=C1Q1
M
tot
M
Abgebaut
=C
1 kV
1
Mtot
= Q
1
kV
1
=
2km 3
a 1
0:6a 1
5km 3
= 2
3
d) mitEinboxmodell:
dC
tot
dt
= J
V
1 +V
2 V
1
V
1 +V
2 kC
tot Q
1
V
1 +V
2 C
tot
5%
= 3
k
t ot
5%
=
3
V
1
V1+V2 k+
Q1
V1+V2
5%
=
3
5km 3
11km 3
0:6a 1
+ 2km
3
a 1
11km 3
7
a) Lösung:
Term a) reaktion nullter Ordnung
Term b) Diusion
Term c) gerichteter Transport
Term d) logistische Reaktion
b)
k
1
! M
L 3
T
k
2
! L
2
T
k
3
! L
T
k
4
! 1
T
C
?
! M
L 3
c) Lösung:
Term a) Möglichkeit c)(Konzentrationsveränderung istnegativ, k
1 )
Term b) Möglichkeit b)(Weil
@ 2
C
@z 2
=0)
Term c) Möglichkeit c)(Weil
@C
@z
<0)
Term d) Moglichkeit b)(Keine Änderung der Konzentration,weil k
4
=0für C >C
?
)
d) Die Prozesse a)und d)könnenkeinen Flussverursachen, dasiekeinen
Transport bewirken. (z - Variablekommtnicht vor)
Also bleibt nochProzess c):
Durch dieDiusion (Prozess b)wird folgender Flussverursacht:
F
Diff
=k
2
@C
@z
=10m 2
d 1
10gm 3
10m
=10gm 2
d 1
Somit muss Prozess c) ebenfalls den Fluss F
adv
= 10gm 2
d 1
bewir-
ken. Es gilt:
F
adv
=k
3 C
3
k
3
= F
adv
C
=
10gm 2
d 1
2gm 3
=5md 1
haben.
