Orthogonale Vektoren und Funktionen Ubungen¨
Aufgabe 1
Es sei~v1, ~v2, . . . , ~vn eine Orthogonalbasis und w~ ein Vektor in Rn. Zeige formal, wie man die die L¨osung der Gleichung
a1~v1+a2~v2+· · ·+an~vn =w~
f¨ur ein ak (1≤k ≤n) bestimmt. Begr¨unde die wesentlichen Schritte.
Aufgabe 2
Berechne den Winkel zwischen den Funktionen f(x) = x und g(x) = x−3 bez¨uglich des folgenden Skalarprodukts
hf, gi= Z 2
1
f(x)g(x) dx.
Aufgabe 3
(a) Pn(x) =
n
X
k=0
(−1)k(n−k)!
n! xk
Gesucht:P0(x),P1(x), P2(x)
(b) P0(x) = 1, P1(x) = x+ 1; Pn+1 =xPn(x) +nPn−1(x) Gesucht:P2(x),P3(x) (in vereinfachter Form)
Aufgabe 4
Gegeben:~a1 =
0 1 1
,~a2 =
2 7 9
und~a3 =
7 4 8
(a) Zeige, dass~a1,~a2 und~a3 linear unabh¨angig sind.
(b) Bestimme mit dem Verfahren von Gram-Schmidt aus ~a1, ~a2, ~a3 eine orthogonale Basis~b1,~b2,~b3.
(c) Gib die zu~b1,~b2,~b3 geh¨orende orthonormale Basis~c1,~c2,~c3 an.
