0W =L(v1−v2

Inverse Abbildung

Eine lineare Abbildung L:V →W ist genau dann injektiv, wenn KernL= 0_V, d.h. nur das Nullelement vonV wird auf das Nullelement von W abgebildet:

Lv = 0_W =⇒ v = 0_V . In diesem Fall kann durch

w 7→v, w =L(v),

eine inverse Abbildung L⁻¹ : BildL→V definiert werden, die ebenfalls linear ist. Insbesondere gilt

(L⁻¹◦L)v =v, (L◦L⁻¹)w =w f¨ur alle v ∈V undw ∈BildL.

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Beweis

(i) Injektivit¨at von L:

Linjektiv =⇒ 0V ist einziges Urbild von 0W, d.h. KernL= 0V

KernL= 0_V ∧L(v₁) =L(v₂)

=⇒ 0W =L(v1−v2) =⇒ v1−v2 ∈KernL =⇒ v1−v2= 0V

=⇒ L injektiv

(ii) Linearit¨at derUmkehrabbildung:

L⁻¹(L(v1) +L(v2)) = L⁻¹(L(v1+v2))

= v₁+v₂=L⁻¹(L(v₁)) +L⁻¹(L(v₂)) L⁻¹(sL(v₁)) = L⁻¹(L(sv₁))

= sv₁ =sL⁻¹(L(v₁))

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Beispiel

Konstruktion der zu

L: x1

x₂

7→y =





2x1+x2

x₁−x₂ x₁−2x₂





inversen Abbildung

(i) ¨Uberpr¨ufung der Injektivit¨at:

zu zeigen: KernL= (0,0)^t, d.h. y =Lx = (0,0,0)^t =⇒ x= (0,0)^t sukzessives Betrachten der Gleichungen

0 =y1 = 2x1+x2, 0 =y2=x1−x2, 0 =y3 =x1−2x2

=⇒ x2=−2x₁, 0 =x1+ 2x1 ⇐⇒ x1= 0, 0 = 0−2x2 ⇐⇒ x2= 0 X

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(ii) Inverse Abbildung:

Aufl¨osen vony =Lx nach x

y₁+y₂= 3x₁ =⇒ x₁ = (y₁+y₂)/3 und y₂−y₃=x₂ L⁻¹ : y 7→x =

(y1+y2)/3 y2−y3

(iii) Eindeutigkeit vonL⁻¹:

anderes Aufl¨osen der Gleichungen y=Lx L˜⁻¹y =

2y₂−y₃ (y1−2y2)/3

kein Widerspruch, denn L⁻¹y = ˜L⁻¹y f¨ur y ∈BildL, dem Definitionsbereich der inversen Abbildung

Uberpr¨¨ ufung der ¨Ubereinstimmung f¨ur die kanonische Basis von BildL, {(L(1,0)^t,(L(0,1)^t}={(2,1,1)^t,(1,−1,−2)^t}

L⁻¹



 2 1 1



=

(2 + 1)/3 1−1

=

2·1−1 (2−2·1)/3

= ˜L⁻¹



 2 1 1



 X

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