Aufgabe IX.2 Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum mit endlichem Maß µund h >0

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik

Wintersemester 2015/2016 Universität Bielefeld

Präsenzaufgaben zu Maß- und Integrationstheorie Blatt IX vom 17.12.15

Aufgabe IX.1

Seif : (0,∞)→Rdefiniert durch

f(x) = 1

√x+x².

Bestimmen Sie alle p∈[1,∞]derart, dass f ∈L^p((0,∞)).

Aufgabe IX.2

Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum mit endlichem Maß µund h >0. Zeigen Sie, dass für jede messbare Funktionu≥0 mit

Z

Ω

exp(hu(x))µ(dx)<∞

gilt:u∈L^p(Ω)für jedesp≥1.

Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass ^t_N^N_! ≤ e^|t| impliziert, dass u ∈ L^N für jedes N ∈ N und verwenden Sie PÜ VIII.3.

Aufgabe IX.3

Zeigen Sie, dass eine Funktionenfolge(u_n)n∈N⊂L²(Ω)genau dann konvergent inL²(Ω) ist, wenn lim

n,m→∞

R

Ωunumdµ endlich ist.