Uberblick Maß- und Integrationstheorie¨ Definition 1 (Maßraum). Ein Tripel (Ω,F, µ)heißt Maßraum, falls
• Ω. . . Menge
• F. . . σ-Algebra, d.h.
– ∅ ∈ F,
– F ∈ F=⇒Fc∈ F,
– F1, F2, . . .∈ F =⇒ ∪iFi∈ F
Eine σ-Algebra ist abgeschlossen unter abz¨ahlbaren Mengenoperationen.
• µ . . .ist ein Maß auf F, d.h. µ:F →[0,∞] mit – µ(∅) = 0,
– F1, F2, . . .∈ F mitFi∩Fj =∅ f¨uri6=j =⇒µ(∪iFi) =P
iµ(Fi) (σ-Additivit¨at) Folgerungen:
• E, F ∈ F undE⊂F =⇒ µ(E)≤µ(F) (Monotonie)
• Fi∈ F =⇒ µ(∪iFi)≤P
iµ(Fi) (σ-Subadditivit¨at)
• F, Fi ∈ F undFi&F =⇒ µ(F) = limi→∞µ(Fi) (Stetigkeit von oben) Beispiele:
1. Diskreter Maßraum:
• Ω ={ω1, ω2, . . .}, F=P(Ω) (Potenzmenge) und f¨urµi≥0 sei µ(F) = X
ωi∈F
µi.
2. Lebesgue Maß aufR:
• Ω =R, F=σ({Intervalle}) (Borel’sche σ-AlgebraaufR, BezeichungB(R)) und µ(Intervall) = L¨ange des Intervalls.
µwird alsLebesgue’sches Maß auf Rbezeichnet. ¨Ublicherweise schreibt man λanstelle vonµ. ACHTUNG: B(R)6=P(R)!
3. Lebesgue Maß auf IntervallIoder aufRn:
• Analog.
Wichtiger Punkt:
In Beispiel 2. wurde das Maß nur auf einemErzeuger({Intervalle}) derσ-Algebra definiert.
FRAGEN:
• Wann ist garantiert, dass es eine Fortsetzung auf die ganzeσ-Algebra gibt?
Fortsetzungssatz: Wenn der Erzeuger eine gewisse Struktur hat (Semiring, Algebra) und µ σ-additiv auf dem Erzeuger ist.
• Wann ist die Fortsetzung eindeutig?
Eindeutigkeitssatz: Wenn der Erzeuger durchschnittsstabil undµ σ-endlich ist.
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Definition 2 (Messbare Funktionen). Sei(Ω,F, µ) ein Maßraum und(Ω0,F0)ein messbarer Raum. Eine Funktion
f : Ω→Ω0 heißtF − F0 messbar, wenn
f−1(F0) ={f−1(F) :F ∈ F0} ⊂ F.
Messbarkeitskriterium:
FallsF0=σ(E0) dann folgt: f ist messbar wenn f−1(E0)⊂ F.
Definition 3 (Einfache Funktionen). Sei(Ω,F, µ) ein Maßraum. Eine Funktion f : Ω→ R
heißt einfach, wenn
f(ω) =
n
X
i=1
αiIAi(ω) f¨ur αi∈RundAi∈ F.
Einfache Funktionen sindF − B(R)-m.b.
Satz 1 (Hauptsatz ¨uber messbare Funktionen). Ist f : Ω → R¯ m.b. und nicht-negativ, dann gibt es eine Folge(fn)von einfachen m.b. Funktionen, sodassfn%f (punktweise monotone Konvergenz). R¯ =R∪ {−∞,∞}
Definition des Integrals einfacher Funktionen:
Seif einfach und nicht-negativ, dann setzt man Z
Ω
f dµ= Z
Ω
f(ω)dµ(ω) =
n
X
i=1
αiµ(Ai)∈[0,∞].
Diese Definition ist unabh¨angig von der Darstellung vonf! Integral ist monoton.
Konstruktion des Integrals messbarer Funktionen:
• Seif ≥0 m.b. W¨ahle Folge von einfachen Funktionenfn%f und setze Z
Ω
f dµ= lim
n
Z
Ω
fndµ
und zeige dass der Limes unabh¨angig von der Wahl derfn ist.
• F¨ur allgemeines m.b. f definiere Z
Ω
f dµ= Z
Ω
f+dµ− Z
Ω
f−dµ,
wobei f+ = max{0, f} und f− = max{0,−f}, wenn zumindest einer der beiden Integrale (¨uber Positiv- oder Negativteil) endlich ist. Unter dieser Voraussetzung sagen wir f ist integrierbar (f ∈ L(µ)), wenn R
|f|dµ <∞ beziehungsweise quasi-integrierbar (f ∈ L(µ))ˆ wennR
|f|dµ=∞.
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Eigenschaften des Integrals:
Gegeben die folgenden Integrale existieren gilt:
• R
(af+g)dµ=aR
f dµ+R
g dµ (Linearit¨at)
• f ≤g f.¨u. =⇒ R
f dµ≤R
g dµ (Monotonie)
• |R
f dµ| ≤R
|f|dµ (Dreiecksungleichung)
Konvergenzs¨atze:
• Seienf, fn m.b., fn≤fn+1f.¨u., limfn =f f.¨u. undR
f1−dµ <∞. Dann gilt
n→∞lim Z
fndµ= Z
f dµ (Monotone Konvergenz)
• Seienf, fn, g m.b.,|fn| ≤g f.¨u., limfn=f f.¨u. undR
g dµ <∞. Dann gilt
n→∞lim Z
fndµ= Z
f dµ (Dominierte Konvergenz) Konstruktion von weiteren Maßen:
• Maße mit Dichten: Sei (Ω,F, µ) ein Maßraum und h ≥0 eine m.b. Abbildung. Dann definiert
ν(F) :=
Z
F
h dµ ein weiteres Maß aufF.
• Bildmaße: Sei (Ω,F, µ) ein Maßraum und (Ω0,F0) ein messbarer Raum. SeiheineF − F0 m.b. Abbildung. Dann definiert
ν(F0) :=µ◦h−1(F0) ein Maß aufF0.
Integration bzgl. obiger Maße:
• Maße mit Dichten: Seif : Ω→Rm.b. Dann gilt f ∈ L(ν) ( ˆL(µ)) ⇐⇒ f h∈ L(µ) ( ˆL(µ)) und
Z
Ω
f dν= Z
Ω
f h dµ.
• Bildmaße: Seif : Ω0→Rm.b. Dann gilt
f ∈ L(ν) ( ˆL(µ)) ⇐⇒ f◦h∈ L(µ) ( ˆL(µ)) und Z
Ω0
f dν= Z
Ω
f ◦h dµ.
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