Berechnen Sie (a) die Funktionen ω(F) undυ(F, G)

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W. Werner und T. Timmermann WS 13/14

Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker III Blatt 5

Abgabe bis Montag, 25. November, 10 Uhr

Aufgabe zur Bearbeitung in der ¨Ubung

Aufgabe 1. Gegeben seien die Differenzialformen ω=xydx+ e^xdy+yzdz,

υ =z²dx∧dy+dx∧dz+ cosx·dy∧dz

und die VektorfelderF: (x, y, z)7→(1, x, 0)^> sowieG: (x, y, z)7→(y, z, −1)^>. Berechnen Sie

(a) die Funktionen ω(F) undυ(F, G);

(b) das Keilprodukt ω∧υ;

(c) die ¨außeren Ableitungendω und dυ.

Aufgaben zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 2. Gegeben sei die Differenzialformω =z²dx+xdy+e^ydz. Berechnen Sie

(a) die ¨außere Ableitung dω;

(b) die Funktionen ω(F) unddω(F, G) mitF, G wie in Aufgabe 1;

(c) die Keilprodukte ω∧dω und ω∧υ mit υ wie in Aufgabe 1.

Aufgabe 3. Seien ψ = P

I∈I_kf_Idx_I und ω = P

J∈I_lg_Jdx_J Differenzialformen der Ordnung k bzw. l. Zeigen Sie:

(a) ψ∧ω= (−1)^klω∧ψ. (Hinweis: Benutzen Siedx_i∧dx_j =−dx_j∧dx_i.) (b) d(ψ∧ω) = dψ∧ω+ (−1)^kψ∧dω.

(Hinweis: Benutzen Sie die Leibniz-Regeld(fIgJ) = gJdfI+fIdgJ und (a).) (c) Ist k gerade, so gilt ω∧dω = 0. (Hinweis: Bentzen Sie (a) und (b).)

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Aufgabe 4. Wir betrachten Vektoren mit drei DifferenzialformenU →Λ(R³)^∗ als Komponenten, also beispielsweise Vektorfelder U → R³ (deren Eintr¨age Funktionen und somit Differenzialformen der Ordnung 0 sind) oder

dX := (dx₁, dx₂, dx₃)^>, dS := (dx₂∧dx₃, dx₃∧dx₁, dx₁ ∧dx₂)^>. F¨ur solche Vektorenω= (ω_i)_i,υ = (υ_i)_idefinieren wirhω|υi:=Pn

i=1ω_i∧υ_i (dies ergibt eine Differenzialform und keine Zahl). Schliesslich sei dV :=dx₁ ∧dx₂∧ dx₃. Zeigen Sie, dass f¨ur alle Vektorfelder F, G, H: U → R³ und Funktionen f:U →R³ gilt:

hF, dXi ∧ hG, dXi=hF ×G, dSi, hF, dXi ∧ hG, dSi=hF, GidV, hF, dXi ∧ hG, dXi ∧ hH, dXi= det(F G H)dV und

df =hgrad(f), dXi, dhF, dXi=hrot(F), dSi, dhG, dSi= div(G)dV.

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