Tutoriumsblatt 5 zu Mathematik III f¨ ur Physiker

Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen 14.11.2018

Tutoriumsblatt 5 zu Mathematik III f¨ ur Physiker

Aufgabe 1:

Betrachten Sie die folgende Funktion

g:R² →R, x₁

x2

7→exp x³₁+x2

.

Zeigen Sie, dass die Funktion differenzierbar ist und berechnen Sie f¨ur jeden Punkta∈R² die Ableitungg⁰(a).

Aufgabe 2:

Betrachten Sie die Funktionenfolge (fn)n∈N, gegeben durch

f_n:R→R, x7→ x²ⁿ 1 +x²ⁿ.

1. Zeigen Sie, dass (f_n)n∈Nauf Rpunktweise konvergiert und bestimmen Sie die Grenzfunk- tion f :R→R.

2. Zeigen Sie, dass (f_n)n∈N nicht gleichm¨assig aufRgegen f konvergiert.

3. Seiq ∈[0,1[ undA={x∈R:|x| ≤q}. Zeigen Sie, dass (f_n)n∈NaufAgleichm¨assig gegen f konvergiert.

Aufgabe 3:

Es seien X und Y K-Banachr¨aume, U ⊆ X offen, a, b∈ U und f¨ur die verbindendene Strecke [|a, b|] gilt: [|a, b|]⊆U. Ferner sei f :U →Y differenzierbar auf U. Zeige: F¨ur jedesξ ∈U gilt:

kf(b)−f(a)−f⁰(ξ)[b−a]k ≤ kb−aksup n

|||f⁰(x)−f⁰(ξ)|||:x∈[|a, b|]o .