Aufgabe VI.2 Sei(Ω,A, µ) ein Maßraum mit endlichem Maßµ

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik

Wintersemester 2015/2016 Universität Bielefeld

Präsenzaufgaben zu Maß- und Integrationstheorie Blatt VI vom 26.11.15

Aufgabe VI.1

Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum und f : Ω → C eine messbare Funktion. Sei f integrabel bezüglichµ überΩ. Zeigen Sie, dass dann gilt

Z

Ω

f dµ

≤ Z

Ω

|f|dµ.

Aufgabe VI.2

Sei(Ω,A, µ) ein Maßraum mit endlichem Maßµ.

a) Für k∈N sei f_k : Ω→R eine Folge messbare Funktionen, die gleichmäßig gegen eine messbare Funktionf : Ω→Rkonvergiert. Zeigen Sie, dass dann gilt:

k→∞lim Z

Ω

f_k dµ= Z

Ω

f dµ.

Hinweis: Verwenden Sie die UngleichungR

Ωf dµ≤R

Ωg dµ+R

Ω|f−g|dµ.

b) Zeigen Sie, dass die Aussage aus Aufgabenteil a) unter punktweiser Konvergenz im Allgemeinen nicht wahr ist, wenn man anstelle von der gleichmäßigen Konvergenz nur annimmt:

∀x∈Ω : lim

n→∞f_n(x) =f(x).

c) Veranschaulichen Sie anhand eines Beispiels, dass auf die Endlichkeit des Maßes in Aufgabenteil a) nicht verzichtet werden kann. Wählen Sie Ihr Beispiel derart, dass die IntegraleR

Ωfk dµ endlich sind.

Aufgabe VI.3

Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass auf die Voraussetzung der Nichtnegativität der beteiligten Funktionen im Lemma von Fatou nicht verzichtet werden darf.

Aufgabe VI.4 Berechnen Sie

n→∞lim Z

[0,π]

pn

sin(x) λ(dx).