1 VK 2019 Finanzmathematik
Aufgabe 3: (50 P. von 150 P.)
Das Kaffeehaus „Hansa“ entwickelt sich bereits kurz nach der Eröffnung zu einem Geheimtipp für Kaffeegenießer, so dass Sofia und Lara sich Gedanken über die Erweiterung der Verkaufsfläche, den Erwerb eines weiteren Kaffeehauses, den Verkauf weniger gewinnträchtiger Objekte und auch bereits um ihre langfristige finanzielle Absicherung machen.
3.1 Um das Kaffeehaus von einer auf zwei Etagen zu vergrößern, stellen die beiden Überlegungen an, ihr derzeit vorhandenes Eigenkapital in Höhe von 70000€ durch jährlich Sparraten zu erhöhen. (Berücksichtigen Sie in Aufgabe 3.1 einen durchschnittlichen Zinssatz von 3%.)
3.1.1 Überlegung 1: 5 Jahre lang soll jeweils am Jahresende zusätzlich ein Betrag von 25 000 € eingezahlt werden. Bestimmen Sie das gesamte Eigenkapital am Ende der 5 Jahre.
(3 P.) 3.1.2 Überlegung 2: Der Erwerb einer weiteren Etage würde vermutlich 280 000 € kosten. Berechnen Sie, welcher Betrag 5 Jahre lang jährlich nachschüssig eingezahlt werden müsste, um diesen Betrag anzusparen.
(5 P.) 3.1.3 Überlegung 3: Alternativ könnte auch nur ein Betrag von 25 306,33 € jährlich nachschüssig eingezahlt werden. Ermitteln Sie, in wie vielen Jahren das Kapital von 280 000 € dann angespart wäre.
(9 P.)
3.2 Der Eigentümer der Immobilie, in der Sofia und Lara das Kaffeehaus im Erdgeschoss eingerichtet haben, stellt in Aussicht, ihnen ein Ladenlokal in Menden zu verkaufen, in welchem sie ein zweites Kaffeehaus, das „Hönnecafé“, eröffnen könnten. Der Kaufpreis soll 150000€ betragen und müsste in voller Höhe durch ein Darlehen finanziert werden. Um absehen zu können, ob der Erwerb für sie in Frage kommt, führen sie ein Beratungsgespräch mit ihrer Hausbank. Dort erhalten sie ein Darlehensangebot mit einem Zinssatz von 4,5%.
3.2.1 Berechnen Sie die Annuität, wenn das Darlehen in 10 Jahren getilgt werden soll.
(5 P.) 3.2.2 Erstellen Sie einen Tilgungsplan für das vierte und das fünfte Jahr.
(6 P.) 3.2.3 Erläutern Sie die Begriffe Annuität, Zinsen und Tilgung und den
Zusammenhang zwischen diesen drei Größen.
(3 P.) 3.2.4 Nach Ablauf der ersten 5 Jahre kann für die restlichen 5 Jahre ein Zinssatz
von 3,5% vereinbart werden. Berechnen Sie die neue Annuität.
(5 P.)
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3.3 Sofia und Lara haben bereits während ihres Studiums Geld mit Kaffee verdient, den sie in einer fahrbaren Kaffeebar „Coffee to roll“ verkauft haben. Da diese jedoch im Verhältnis zum Kaffeehaus zu wenig Gewinn abwirft, möchten sie die Kaffeebar verkaufen. Sie erhalten dafür die folgenden Angebote:
Angebot von Carla Espresso: Zahlung von 20 000 € sofort, sowie in 2 und 3 Jahren weitere Zahlungen von je 20 000 €.
Angebot von Karl Bohne: Zahlung von 32 000 € in 2 Jahren und 33 000 € in 4 Jahren.
Untersuchen Sie, für welches Angebot sich die beiden entscheiden sollten, wenn sie mit einer Verzinsung von 3% kalkulieren.
(6 P.)
3.4 Gerade weil die Gewinnsituation des Kaffeehauses „Hansa“ so gut ist, machen sich die beiden Gründerinnen bereits jetzt schon Gedanken über ihre Altersvorsorge.
Sie gehen davon aus, dass jede jährlich nachschüssig 25 Jahre lang einen Betrag von 12000€ in eine private Rentenversicherung einzahlen sollte.
Ermitteln Sie, welcher Betrag jeder nach den 25 Einzahlungsjahren 20 Jahre lang jährlich vorschüssig aus dem angesparten Kapital ausgezahlt werden könnte.
(Beide rechnen aus heutiger Sicht mit einer durchschnittlichen Verzinsung von 3%.)
(8 P.)
„Sparkassenformel“: 0
1 1
n n
n
K K q r q q q
3 A3
3.1.1 Ermittlung des angesparten Guthabens z.B. mit Hilfe der Formel für nachschüssigen Kapitalaufbau.
𝐾𝑛(5) = 70.000 ∙ 1,035+ 25.000 ∙1,035− 1
0,03 = 213.877,58 3.1.2 Umformung der Formel für nachschüssigen Kapitalaufbau nach r:
280.000 = 70.000 ∙ 1,035+ 𝑟 ∙1,035− 1 0,03 𝑟 = 280.000 − 70.000 ∙ 1,035∙ 0,03
1,035− 1= 37.454,46
3.1.3 Umformung der Formel für nachschüssigen Kapitalaufbau nach n:
280.000 = 70.000 ∙ 1,03𝑛+ 25.306,33 ∙1,03𝑛− 1 0,03 1,2298739 = 1,03𝑛
𝑛 = 7
3.2.1 Ermittlung der Annuität r z.B. mithilfe der Sparkassenformel:
0 = 150.000 ∙ 1,04510− 𝑟 ∙1,04510− 1 0,045 𝑟 = 18.956,82
3.2.2 Restschuld nach 3 Jahren:
3 3
3
1,045 1
150.000 1,045 18.956,82 111.706,90 0,045
K
Tilgungsplan für die Jahre 4 und 5:
Jahr Restschuld zu
J.beginn Zinsen Tilgung Annuität Restschuld am J.ende 4 111.706,90 5.026,81 13.930,01 18.956,82 97.776,89 5 97.776,89 4.399,96 14.556,86 18.956,82 83.220,03
3.2.3 Die Annuität ist eine jährlich zu zahlende Rate, die sich aus Zinsen und Tilgung zusammensetzt.
Die Zinsen sind der Preis, den der Kreditnehmer für das Leihen des Geldes zahlen muss. Die Tilgung ist die Abzahlung der Schulden.
Zieht man die Zinsen von der Annuität ab, ist der verbleibende Betrag die Tilgung, also der Teil, der aufgewendet werden kann, um die Höhe des Darlehens zu verringern.
3.2.4 Die Restschuld nach den ersten 5 Tilgungsjahren kann z.B. mithilfe der Sparkassenformel berechnet werden oder folgt aus der Tabelle von 3.2.2:
𝐾𝑛(5) = 150.000 ∙ 1,0455− 18.956,82 ∙1,0455− 1
0,045 = 83.220,03 Für die neue Annuität folgt:
0 = 83.220,03 ∙ 1,0355− 𝑟 ∙1,0355− 1 0,035 𝑟 = 18.431,69
3.3 Angebotsvergleich z.B. durch Berechnung der Barwerte:
Angebot Carla Espresso:
0 2 3
20.000 20.000
20.000 57.154,75
1,03 1,03 K
Angebot Karl Bohne:
0 2 4
32.000 33.000
59.483,14 1,03 1,03
K
Sie sollten sich für das Angebot von Karl Bohne entscheiden; dieses ist besser, da der Barwert höher ist.
3.4 Ansatz z.B. durch Gleichsetzen des Endwertes der Einzahlung mit dem Barwert der Auszahlung:
12.000 ∙1,0325− 1
0,03 = 𝑟
1,0320∙ 1,03 ∙1,0320− 1 437 511,17 = 𝑟 ∙ 15,3237 r = 28 551,09 0,03
