¨Ubungsblatt 3 zur Finanzmathematik I

Ubungsblatt 3 zur Finanzmathematik I ¨

Prof. Dr. T. Meyer-Brandis, J. Widenmann

Abgabe (freiwillig): Donnerstag 08.11.12 in der ¨Ubung.

Aufgabe 1: Sei ein Finanzmarkt bestehend aus einem Num´eraire S⁰ mit π⁰ =S⁰ = 1 (d.h. r = 0) und einer Aktie S¹ mit S¹ = e^Z gegeben, wobei Z ∼ N(0,1). Wir f¨uhren ein Derivat auf S¹ von der Form S² = (K− |S¹−L|)⁺ f¨ur 0 < K < L ein. Zeichnen Sie die Menge der arbitragefreien Preise f¨urS². Ist L=π¹ >0, so nennt man dieses Derivat einen Butterfly Spread. Geben Sie in diesem Fall die Menge der arbitragefreien Preise von S² an.

Aufgabe 2: Gegeben sei ein Finanzmarkt bestehend aus einem Num´eraire S⁰ mit π⁰ = S⁰ = 1 (d.h. r = 0) und den folgenden Wertpapieren:

• einer Aktie S¹ mit π¹ = 1 undPS¹ = ¹₂(δ₀ +δ₂),

• einer von S¹ unabh¨angigen Aktie S² mit π² = 1 undPS² = ¹₂(δ₀+δ₂),

• einer Calloption S³ mit S³ = (S¹−1)⁺ und

• einer Index-Calloption S⁴ mit S⁴ = (S¹+S²−2)⁺.

Es gelte F = σ(S¹, ..., S⁴). Bestimmen Sie die Menge M aller Preispaare (π³, π⁴) ∈ R², so dass der Markt mit diesen Preisen arbitragefrei ist. Geben Sie zu jedem Preisvektor π = (1,1, π³, π⁴), (π³, π⁴)∈M, ein ¨aquivalentes Martingalmaß an.

Aufgabe 3: Gegeben sei ein Finanzmarkt auf (Ω,F,P), bestehend aus einem Bank- konto (Num´eraire) und einem risikobehafteten Wertpapier, wobei der Preisvektor durch

¯

π = (1,4) gegeben sei. Weiter gelte S⁰ = 1,25, sowie L(S¹) = ¹₃δ₂ + ²₃δ₈. Außerdem nehmen wir F =σ(S¹) an.

Nun wird eine Call-Option Cauf das Wertpapier S¹ mit Strike K = 5 (und Auszahlungs- zeitpunkt t= 1) auf dem Markt angeboten.

a) Welchen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P) w¨urden Sie f¨ur das Marktmodell anset- zen?

b) Bestimmen Sie einen arbitragefreien Preis π^C der Call-Option. Ist dieser Preis ein- deutig?

c) Nehmen Sie an, es g¨abe noch eine weitere Call-Option C¹ auf das Wertpapier S¹ mit gleichem Strike K. Allerdings gelteπ^C1 < π^C. Zeigen Sie, dass der ”neue”Markt (S⁰, S¹, C, C¹) nicht arbitragefrei ist.

Aufgabe 4: Beweisen Sie, dass die untere Arbitrageschranke eines contingent claims C wie folgt gegeben ist:

inf Π(C) = inf

E_P^∗

C

1 +r

: P^∗ ∈ P, E_P^∗[C]<∞

= max

m ∈[0,∞)| ∃ξ∈R^d : m+ξ·Y ≤ C

1 +r P−f.s.

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