Ubungsblatt 4 zur Finanzmathematik I ¨
Prof. Dr. T. Meyer-Brandis, J. Widenmann
Abgabe (freiwillig): Donnerstag 15.11.11 in der ¨Ubung.
Aufgabe 1: Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P) sei ein Finanzmarkt, beste- hend aus einem Numeraire S0 und einer Aktie S1 gegeben. Es gelte π0 = S0 = 1 und S1 =π1exp(σX − σ22), wobei σ >0 und X∼ N(0,1).
a) Zeigen Sie, dassP ein risikoneutrales Maß ist.
b) Bestimmen Sie den durch P bestimmten Preis einer Calloption C auf die Aktie S1 mit Strikeprice K.
Aufgabe 2: Gegeben sei ein Finanzmarkt auf (Ω,F,P) mit Ω = {ω1, ω2}, F = P(Ω) und P({ω1}) = 0,7. Der Numeraire sei, wie ¨ublich, eine risikolose Anlage S0 mit r = 0 und S1 sei eine Aktie mitπ1 = 100. Zum Zeitpunkt 1 nimmtS1 den Wert 110 auf ω1 und 70 auf ω2 an.
Sei P eine Europ¨aische Put-Option auf S1 mit dem Strikeprice K = 90. Berechnen Sie a) eine replizierende Strategie f¨ur P,
b) alle arbitragefreien Preise f¨ur P und alle ¨aquivalenten Martingalmaße.
Aufgabe 3: Sei ein Finanzmarkt gegeben durch zwei unabh¨angige Aktien S1 und S2 mit PS1 =PS2 = n1 Pn
i=1δi f¨ur ein n >1 und den arbitragefreien Preisen (π1, π2).
Untersuchen Sie, ob in diesem Markt jedes Derivat auf S1 und S2 replizierbar ist.
Hinweis: Betrachten Sie den eingeschr¨ankten Raum L0(Ω, σ(S0, S1, S2),P). In der Vorle- sung wurde gezeigt, dass falls alle Claims replizierbar sind
dimL0(Ω, σ(S0, S1, S2),P)≤d+ 1 = 3 gilt.
Aufgabe 4: Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P) mit Ω ={ω1, ω2, ω3, ω4), F = P(Ω) und P({ωi}) = 14, i = 1, ...,4. Sei X eine Zufallsvariable auf diesem Wahr- scheinlichkeitsraum mit X(ωi) = i, i = 1, ...,4 und sei G = σ({ω1, ω2}). Bestimmen Sie den bedingten Erwartungswert E[X | G].
