Universit¨at W¨urzburg Institut f¨ur Mathematik Prof. Dr. Helmut Pabel
Dipl.-Math. Martin Hintermeier
Wintersemester 2007/2008 W¨urzburg, den 14.11.2007
4. ¨ Ubungsblatt zur Differentialgeometrie I
(Abgabe am 21.11.2007 vor den ¨Ubungen)
Aufgabe 1.
Die Einheitssph¨are S2 := {x ∈ R3 | |x| = 1} des R3 ohne den Punkt N := (0,0,1)T l¨asst sich auf folgen- de Weise durch denR2 parametrisieren:
Sei P = (y1, y2)T ∈R2 beliebig und ¯P := (y1, y2,0)T ∈R3. Der vonN verschiedene Schnittpunkt der Gerade durch ¯P undN mitS2 seiρ(P). Zeigen Sie, dass die so definierte Abbildungρ:R2→S2rN,P 7→ρ(P) eine regul¨are und injektiveC∞-Parametrisierung vonS2rN ist.
Aufgabe 2.
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
a) Eine in Bogenl¨ange parametrisierte und wendepunktfreieC3-Kurves7→c(s) desR3ist genau dann sph¨arisch, wenn eineC1-Funktions7→λ(s) mit|λ|< π/2 und eine Zahlr >0 existieren, so dassρ=r·cos(λ) undτ =−λ′. b) F¨ur eine in Bogenl¨ange parametrisierte und wendepunktfreie C4-Kurve s 7→ c(s) des R3 mit τ, ρ′ 6= 0 ist obige Bedingung ¨aquivalent zu ρ2+ (ρ′/τ)2 =const. Kann auf die Voraussetzung ρ′ 6= 0 verzichtet werden ? Geben Sie ggf. ein Gegenbeispiel an.
Aufgabe 3.
Sei c : I → R3, s 7→ c(s) eine in Bogenl¨ange parametrisierte und wendepunktfreie C3-Kurve des R3. Be- stimmen Sie die Singularit¨aten, sowie in regul¨aren Fl¨achenpunkten den Normaleneinheitsvektor und die Matrix der ersten Grundform der folgenden parametrisierten Fl¨achen.
a) a:I×R→R3, a(s, v) =c(s) +v·T(s) (Tangentenfl¨ache) b) b:I×R→R3, b(s, v) =c(s) +v·H(s) (Hauptnormalenfl¨ache) c) c:I×R→R3, c(s, v) =c(s) +ρ(s)·H(s) +v·B(s)
Aufgabe 4.
Sei c : I → R3, t7→ c(t) = (r(t),0, z(t))T eine regul¨ar parametrisierte C2-Kurve des R3 mit r(t) ≥0. Durch Drehung voncum die dritte Koordinatenachse entsteht die Rotationsfl¨ache (t, v)7→x(t, v) = (r(t)·cos(v), r(t)· sin(v), z(t))T. Bestimmen Sie die Singularit¨aten vonx, sowie in regul¨aren Fl¨achenpunkten die Matrix der ersten Grundform und den Normaleneinheitsvektor. Welche Formel f¨ur die Oberfl¨ache von x ergibt sich, wenn c in Bogenl¨angenparametrisierung vorliegt ?