Finanzmathematik
Zinsrechnung I
1.)
Ein Vater leiht seinem Sohn am 1.1. eines Jahres 1.000.- DM.
Es wird vereinbart, dass der Sohn bei einfacher Verzinsung von 8% das Kapital einschließlich der Zinsen nach Ablauf von 3 Jahren zurückzahlt. Wie hoch ist der Rückzahlungsbetrag ?
geg.: Ko= 1000 DM , p= 8% , i= p/100 = 8/100= 0,08 n= 3
ges.: K3
Lsg.: Kn = Ko * (1 + n * i)
K3 = 1000 DM * (1 + 3 * 0,08) K3 = 1240 DM
2.)
Ein Vater zahlt bei der Geburt eines Sohnes einen bestimmten Geldbetrag bei einer Bank ein, die das Geld bei 6% einfachen Zinsen ansammelt.
Der Sohn erhält nach Ablauf von 25 Lebensjahren 1.250.- DM ausgezahlt. Wie hoch war das seinerzeit angelegte
Anfangskapital ?
geg.: K25= 1250 DM , p= 6% , i= p/100 = 6/100= 0,06 n= 25
ges.: Ko
Lsg.: Ko= Kn / (1 + n * i)
Ko = 1250 DM / (1 + 25 * 0,06) Ko = 500 DM
3.)
Ein Kapital von 1.250.- DM war zu 7% bei einfacher Verzinsung angelegt und ist auf derzeit 2.912,50 DM angewachsen. Wieviele Jahre war das Kapital angelegt ?
geg.: Ko= 1250 DM , p= 7% , i= p/100 = 7/100= 0,07 Kn= 2912,50 DM
ges.: n
Lsg.: Kn = Ko* (1 + n * i)
2912,50 DM = 1250 DM * (1 + n * 0,07)
2912,50 DM = 1250 DM + 87,50 DM * n /-1250 DM 1662,50 DM = 87,50 DM * n /: 87,50 DM
n = 19
4.)
Ein Kapital von 2.500.- DM war 12 Jahre lang bei einfacher Verzinsung angelegt und ist nach Ablauf von 12 Jahren einschließlich der gezahlten Zinsen auf 4.750.- DM angewachsen. Wie groß war der über den gesamten Zeitraum konstante Zinssatz p ?
geg.: Ko= 2500 DM , n= 12, K12= 4750 DM ges.: p
Lsg.: Kn = Ko* (1 + n * i)
4750 DM = 2500 DM * (1 + 12 * i)
4750 DM = 2500 DM + 3000 DM * i /-2500 DM 2250 DM = 30000 DM * i /: 30000 DM
i = 0,075 p = i * 100
p = 0,075 * 100 = 7,5%
5.)
Ein Kapital von 10.000.- DM wird zu 8% Zinseszinsen auf 12 Jahre festgelegt.
Wie groß wird der Rückzahlungsbetrag sein ?
geg.: Ko= 10000 DM , p= 8% , i = p/100 = 8/100 = 0,08 n= 12
ges.: Kn
Lsg.: Kn = Ko* (1 + i)n
Kn = 10000 DM * (1 + 0,08)12 Kn = 25181,70 DM
6.)
Ein Geschäftsmann verspricht, für die Überlassung einer Lizenz nach 5 Jahren Nutzung ein Entgeld von 100.000.- DM zu zahlen. Wie groß ist bei einem banküblichen Jahreszins von 6,5% der Barwert dieser Zahlung ?
geg.: K5= 100000 DM , p= 6,5% , i = p/100 = 0,065 n= 5
ges.: Ko
Lsg.: Ko= Kn / (1 + i)n
Ko = 100000 DM / (1 + 0,065)5 Ko = 72988,08 DM
7.)
Welchen Barwert hat eine in genau 7 Jahren fällige Zahlung von 7.000.- DM bei 7% Zinseszins ?
geg.: K7= 7000 DM , p= 7% , i = p/100 = 0,07 n= 7
ges.: Ko
Lsg.: Ko= Kn / (1 + i)n
Ko = 7000 DM / (1 + 0,07)7 Ko = 4359,25 DM
8.)
Ein Anfangskapital von 1.000.- DM ist nach 5 Jahren auf 2.000.- DM angewachsen.
Wie hoch ist der durchschnittliche Jahreszinssatz für die gesamte Laufzeit ?
geg.: Ko= 1000 DM , n = 5 , K5 = 2000 DM ges.: p
Lsg.:
% 87 , 14 p
100
* i p
14869 ,
0 i
DM 1 1000
DM i 2000
Ko 1 i Kn
5 n
=
=
=
−
=
−
=
9.)
Ein Kaufmann beteiligt sich am 1.1.1985 mit einem Betrag von 100.000.- DM an einer Firma. Er belässt alle seine Gewinnanteile in dem Unternehmen und liquidiert seine Beteilligung am 31.12.1991. Bei seinem Ausscheiden werden ihm Kapitalanteile in Höhe von 145.000.- DM ausgezahlt.
a.) Wie hoch ist die durchschnittliche Jahresverzinsung des eingesetzten Kapitals während der gesamten Laufzeit.
b.) Der Kaufmann hätte sein Kapital am 1.1.1985 auch zu 6,5% jährlichen Zinseszinsen bei einer Bank anlegen
9.)
geg.: Ko= 100000 DM , n = 6 , Kn = 145000 DM ges.: a.) p
b.) geg.: Ko = 100000 DM , p = 6,5% , i = 0,065 ges.: Kn
Lsg.: a.)
% 39 , 6 p
100
* i p
06388 ,
0 i
DM 1 100000
DM 145000 i
Ko 1 i Kn
6 n
=
=
=
−
=
−
=
Lsg.: b.)
Kn = Ko * (1 + i)n
Kn = 100000 DM * (1 + 0,065)6 Kn = 145914,23 DM
10.)
Bei wieviel Prozent Jahreszins verdoppelt sich ein Kapital in vier Jahren ?
geg.: n = 4
ges.: p das K4 = Ko * 2
Lsg.:
% 92 , 18 p
100
* i p
1892 , 0 i
1 2 i
Ko 1 2
* i Ko
Ko 1 i Kn
4 4 n
=
=
=
−
=
−
=
−
=
11.)
In wieviel Jahren verdoppelt sich ein Kapital bei 5,5%
Jahreszins ?
geg.: p = 5,5% , i = 0,055 ges.: n das Kn = Ko * 2
Lsg.: Ko= Kn / (1 + i)n /* (1 + i)n Ko * (1 + i)n = Kn / : Ko
(1 + i)n = Kn/ Ko
n * log (1 + i) = log (Kn/ Ko) / : log (1 + i) n = (log (Kn/ Ko)) / (log (1 + i))
n = (log ((2 * Ko) / Ko)) / (log (1 + i) n = (log 2) / (log (1 + 0,055)) = 12,946
12.)
Für einen Schüler wurden seinerzeit 100.- DM bei 8,5%
Jahreszins angelegt. Dieses Kapital ist heute auf 339,97 DM angewachsen. Wie lange war das Kapital angelegt ?
geg.: Ko = 100 DM , p = 0,085 , Kn = 339,97 DM ges.: n
Lsg.: Ko= Kn / (1 + i)n /* (1 + i)n Ko * (1 + i)n = Kn / : Ko
(1 + i)n = Kn/ Ko
n * log (1 + i) = log (Kn/ Ko)
n * log (1 + i) = log (Kn) – (Ko) / : log (1 + i) n = (log (Kn) – log (Ko)) / (log (1 + i))
n = (log(339,97 DM) - log(100 DM)) / (log (1 + 0,085)) n = 14,99
13.)
Ein Kapital von 500,- DM wird bei 2% Quartalszins zinseszinslich angelegt.
a.) Auf welchen Betrag ist das Kapital nach 8 Jahren angewachsen?
b.) Wie hoch ist der effektive Jahreszinssatz?
geg.: Ko = 500 DM , i* = 0,02 , m = 4
Lsg.: a.)
Kn = Ko * (1 + i*)m*n
K8 = 500 DM * (1 + 0,02)4*8 K8 = 942,27 DM
Lsg.: b.)
Ko * (1 + i*)m*n = Ko* (1 + j)n (1 + i*)m*n = (1 + j)n
(1 + i*)m = (1 + j)
j= (1 + i*)m -1
j= (1 + 0,02)4 –1
14.)
Es wird eine neue Bundesanleihe herausgegeben, die auf ein 100,- DM Wertpapier 8,5 % Zinsen einbringt. Welche effektiven Jahresverzinsungen hat diese Anleihe bei
a.) jährlicher Zinszahlung, b.) halbjährlicher Zinszahlung, c.) vierteljährlicher Zinszahlung,
wenn pro Zinsperiode mit dem relativen Zinssatz gerechnet wird und man unterstellt, dass die ausgeschütteten Zinsen in den jeweiligen Zeitabständen ebenfalls zu 8,5% angelegt werden.
14.)
geg.: Ko = 100 DM
ges.: a.) j bei p = 8,5% m = 1 b.) j bei i* = 0,085 m = 2 c.) j bei i* = 0,085 m = 4
Lsg.: a.)
j= (1 + i*)m -1
j= (1 + 0,085)1 –1 j= 0,085
p= 8,5%
Lsg.: b.)
j= (1 + i*)m -1
j= (1 + 0,085)2 –1 j= 0,177
p= 17,7%
Lsg.: c.)
j= (1 + i*)m -1
j= (1 + 0,085)4 –1 j= 0,3859
p= 38,6%
15.)
Jemand legt 5000,- DM bei einer Teilzahlungsbank an, die ihm einen effektiven Jahreszins von 9% verspricht.
Der Anleger vereinbart mit der Bank monatliche Auszahlung und Wiederanlage der Zinsen.
a.) Wie hoch ist der konforme Monatszinssatz?
b.) Wie hoch ist das Kapital des Anlegers bei der ange- führten monatlichen Verzinsung nach Ablauf von 5 Jahren?
c.) Wie hoch wäre das Endkapital bei 9% jährlicher
15.)
geg.: Ko = 5000 DM , p* = 9% , m = 12 ges.: a.) k
b.) K5
c.) K5 bei p = 9%
Lsg.: a.)
Ko * (1 + i)n = Ko * (1 + k)m*n (1 + i)n = (1 + k)m*n
(1 + i) = (1 + k)m
1 ) i 1 ( k
k 1 ) i 1 (
m m
− +
=
+
=
+
Lsg.: b.)
Kn = Ko * (1 + k)m*n
K5 = 5000 DM * (1 + 0,0072)12*5 K5 = 7689,76 DM
Lsg.: c.)
Kn = Ko * (1 + i)n
K5 = 5000 DM * (1 + 0,09)5 K5 = 7693,12 DM
