Ubungsblatt 7 zur Finanzmathematik I ¨

Ubungsblatt 7 zur Finanzmathematik I ¨

Prof. Dr. T. Meyer-Brandis, J. Widenmann

Abgabe (freiwillig): Donnerstag 06.12.11 in der ¨Ubung.

Aufgabe 1: Seien Z1,Z2 i.i.d. Zufallsvariablen mit P^Z1 = ¹₃(δ−1+δ0+δ1).

Definiere S_t¹ = 2 +Pt

i=1Z_i, t = 0,1,2. In dem durch ein Num´eraire S⁰ ≡ 1 und S¹ gegebenen Zweiperiodenmarkt sei die Filtration gegeben als (F_t)_t=0,1,2 mit F₀ ={∅,Ω}, F₁ =σ(Z₁) und F₂ =σ(Z₁, Z₂). Bestimmen Sie die obere und untere Arbitragepreisgren- ze sup Π(C) bzw. inf Π(C) des ClaimsC =S₂¹−min_t=0,1,2S_t¹.

Aufgabe 2: Wir betrachten einen Zweiperiodenmarkt gegeben durch ein Numeraire S⁰ = (S_t⁰)_t=0,1,2 mit S_t⁰ = 1, t = 0,1,2, sowie eine Aktie S¹ = (S_t¹)_t=0,1,2 mit S₀¹ = 1, die zu den Zeitpunkten 1 und 2 entweder mit Wahrscheinlichkeit 1/2 um den Faktor a > 1 w¨achst oder um 1/a f¨allt, und zwar jeweils unabh¨angig von den vorherigen Zeitpunkten.

Der Informationsfluss auf dem Markt sei nur gegeben durch den Verlauf der Aktie S¹ (d.h. die Filtration F = (F_t)_t=0,1,2 sei von S¹ erzeugt).

Wir f¨uhren das DerivatS₂² := max(S₀¹, S₁¹, S₂¹) ein. Finden Sie eine replizierende Handelss- trategie f¨urS².

Aufgabe 3: Sei ein Zweiperiodenmarkt (t = 0,1,2) gegeben mit zwei Anlageg¨utern S⁰, S¹, wobei das Num´eraire gegeben ist durch S⁰ ≡ (1 +r)^t, r = 20%, weiterhin sei S₀¹ = 1 undS_t¹ =S_t−1¹ ·u·1{Yt=1}+S_t−1¹ ·d·1{Yt=−1}. Dabei seienY₁, Y₂i.i.d. Zufallsvariablen mit PY1 = 1/2 (δ₁+δ−1), außerdem sei u= 1.5, d= 0.9.

Bestimmen Sie unter den Annahmen F₀ = {∅,Ω}, F₁ =σ(Y₁) und F = F₂ =σ(Y₁, Y₂), zu den folgenden Derivaten C^{P ut} und C^Call jeweils einen arbitragefreien Preis und eine replizierende Handelsstrategie.

i) Lookback Put Option:

C^{P ut}= max

0≤t≤2S_t¹−S₂¹. ii) Asiatische Call Option (Average Price Call):

S_av¹ = 1 3

2

X

i=0

S_i¹, C^Call = (S_av¹ −K)⁺, K = 1.

Aufgabe 4: Seien Y_t, t= 1, . . . , T, i.i.d. Zufallsvariablen mit PY1 =N(µ, σ²) auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P) mit Filtration F₀ = σ(Ω), F_t = σ(Y₁, . . . , Y_t), t = 1, . . . , T. Seien weiterhin S⁰ ≡1 undS_t¹ =Qt

u=1e^Yu,t= 0, . . . , T. Finden Sie Konstanten C und Z, so dass ^dP∗

dP = _Z¹(S_T¹)^C die Dichte eines zu P ¨aquivalenten Martingalmaßes P^∗ ist.

Identifizieren Sie die Verteilungen von Y_t, t= 1, . . . , T, unter P^∗.