Ubungsblatt 2 zur Finanzmathematik I ¨
Prof. Dr. T. Meyer-Brandis, J. Widenmann
Abgabe (freiwillig): Donnerstag 01.11.12 in der ¨Ubung.
Aufgabe 1: Arbitrage ist unabh¨angig von der Festlegung eines Num´eraires. Um das zu sehen zeigen Sie, dass folgende Aussagen ¨aquivalent sind:
i) Es gibt eine Arbitragem¨oglichkeit η im Marktmodell (π, S).
ii) F¨ur allei= 0,1, . . . , d mit πi >0 und Si >0 gibt es ein ξ ∈Rd+1, so dass
ξ· S
Si − π πi
≥0P-f.s. und P
ξ· S
Si − π πi
>0
>0.
Aufgabe 2: Wir nehmen o.B.d.A an, dass π1 >0 undP(S1 >0) = 1 gilt. Dann setzen wir dieses Wertpapier als neuen Numeraire, d.h. wir betrachten alle Assets in Einheiten von Wertpapier 1:
πei := πi
π1 und Xei := Si
S1, i= 0, ..., d.
Die Definition von Arbitrage ist unabh¨anigig von der Wahl eines Numeraire. Deshalb muss mit dem FTAP gelten, dass ein ¨aquivalentes Martingalmaß Pe∗ ≈P existiert so dass
eπi =EPe∗
h Xeii
, i= 0, ..., d.
Wir bezeichnen die Menge Pe als die Menge der Wahrscheinlichkeitsmaße Pe∗, die diese Eigenschaft erf¨ullt.
a) Zeigen Sie, dass
Pe= (
Pe∗
dPe∗
dP∗ = S1
EP∗[S1] f¨ur einP∗ ∈ P )
.
b) Zeigen Sie,
P ∩P 6=e ∅, ⇔ S1 =c∈R+ P−f.s. .
Aufgabe 3: Gegeben sei ein Finanzmarkt, bestehend aus einem Num´eraire bzw. Bank- konto S0 und einer risikobehafteten Anleihe S1. Mit der Notation der Vorlesung sei dabei π0 = 1 und S0 = 1,04 (r = 4%). Außerdem sei π1 = 1 und PS1 = 13(δ0 +δ1,04 +δ2,08).
Nun f¨uhren wir ein Derivat S2 auf die Aktie S1 der Form S2 = (S1−1,04)+ ein.
a) Bestimmen Sie die Menge der arbitragefreien Preise π2 von S2 zum Zeitpunkt 0 mit Hilfe einer Maßtransformation. Finden Sie also zun¨achst die zu P ¨aquivalenten Martingalmaße P∗ und bewerten Sie dannS2.
b) Bestimmen Sie die Menge der arbitragefreien Preise π2 von S2 geometrisch. Be- trachten Sie dazu den um S2 erweiterten Markt und verwenden die Ergebnisse der 2. ¨Ubungsstunde.
Aufgabe 4: Gegeben sei ein Finanzmarkt, bestehend aus einem Num´eraire S0, einer Aktie S1 und einem Derivat S2 auf S1 der Form S2 := (S1−1)+. S0 sei gegeben durch die Werte π0 =S0 = 1 (r= 0), S1 sei gegeben durchS1 =eX mit X ∼ N(0,1).
a) Finden Sie die Menge Π der arbitragefreien Preise geometrisch. Geben Sie außerdem die Menge Π2 der arbitragefreien Preise von S2 unter der Annahme π1 = 1,5 an.
b) Geben Sie f¨ur jedes Preispaar (π1, π2)∈Π ein ¨aquivalentes Martingalmaß an.
