Ubungsblatt 10 zur Finanzmathematik I ¨

Ubungsblatt 10 zur Finanzmathematik I ¨

Prof. Dr. T. Meyer-Brandis, J. Widenmann

Abgabe (freiwillig): Donnerstag 24.01.13 in der ¨Ubung.

Aufgabe 1: Seien Ω = {−1,1}² = {ω = (i, j)|i, j ∈ {−1,1}}, F = P(Ω) und sei P gegeben durch P({(i, j)}) = 1/4P

ω∈Ωδ_ω. Weiter sei Y₁(i, j) =i·3ⁱ und Y₂(i, j) =j·3^j. Betrachten Sie den Zweiperiodenmarkt gegeben durch ein Num´eraire S⁰ mit S_t⁰ = 1, t = 0,1,2, und durch eine Aktie S¹ mit S_t¹ = 1 +Pt

u=1Yu, t = 0,1,2, mit der Filtration F₀ ={∅,Ω}, F₁ =σ(Y₁), F₂ = F. Wir f¨uhren eine amerikanische Lookback-Put-Option C = (C_t)_t=0,1,2 mit

Ct= (max0≤u≤tS_u¹−S_t¹)⁺, ein.

a) Geben Sie f¨ur den betrachteten Markt die Dichte ^dP∗

dP eines zu P¨aquivalenten Mar- tingalmaßesP^∗ an und zeigen sie, dassY₁ und Y₂ identisch und unabh¨angig verteilt (i.i.d.) unter P^∗ sind.

b) Berechnen Sie den arbitragefreien Preis der amerikanischen Lookback-Call-Option.

c) Bestimmen Sie die Menge aller optimalen Aus¨ubungszeitpunkte des K¨aufers der Option.

(Hinweis: Finden Sie die Stoppzeitenτ_min und τ_max und verwenden Sie ein Ergebnis aus der Vorlesung.)

Aufgabe 2: Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P) sei zun¨achst ein vollst¨andiger T-Perioden Finanzmarkt (T ≥ 1) mit Filtration (F_t)_t=0,...,T, eindeutigem ¨aquivalentem Martingalmaß P^∗, sowie Num´eraire (S_t⁰)_t=0,...,T gegeben. Desweiteren sei C = (C_t)_t=0,...,T ein amerikanischer Claim und H = (H_t)_t=0,...,T =

Ct

S⁰_t

t=0,...,T der diskontierte amerikani- sche Claim.

a) Definieren Sie die Snell’sche P^∗-Einh¨ullende U^P∗.

b) Wie istU^P∗, laut Vorlesung, aus Sicht des Verk¨aufers des amerikanischen Claims zu interpretieren?

Seien nun konkretY₁,Y₂ i.i.d Zufallsvariablen mitPY1 = ¹₃(δ¹

2 +δ₂+δ₃). Wir konstruieren einen 2-Perioden Finanzmarkt (S_t⁰, S_t¹)_t=0,1,2 mit der Filtration F₀ ={∅,Ω}, F₁ =σ(Y₁), F2 =σ(Y1, Y2) wie folgt:S⁰ mit S_t⁰ = 1, t = 0,1,2, sei das Num´eraire, w¨ahrend die Aktie S¹ f¨ur t = 0,1,2 die Gestalt S_t¹ = 2·Qt

k=1Y_k annimmt. Wir f¨uhren eine amerikanische

“Up-and-In Call Option” C mit

C_t= (maxu≤tS_u¹−3)⁺

maxu≤tS_u¹−3 (S_t¹−2)⁺, t= 0,1,2 ein, wobei ⁰₀ = 0 gelte.

c) Bestimmen Sie die Menge Π(H) der arbitragefreien Preise von C. Begr¨unden Sie Ihre Entscheidung bzgl. der Zugeh¨origkeit von π_inf^H zu Π(H).

Aufgabe 3: Nehmen sie an, eine Bank vergibt einen zinslosen Kredit in H¨ohe von 100.000e an ein Unternehmen. Nehmen sie außerdem an, dass das Unternehmen mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8% komplett ausfallen kann. Sei X der ”Gewinn“ der Bank bei diesem Kredit. Dann gilt also

P(X =−100.000) = 0,008 und P(X = 0) = 1−0,008. Betrachten sie nun f¨ur ein α∈(0,1) VaR_α(Y) := inf{m|P(Y +m <0)≤α}.

a) Zeigen Sie, dass VaR_α ein Risikomaß ist.

b) Berechnen Sie VaRα f¨ur α= 0,01.

Nehmen sie nun an, dass die Bank zwei zinslose Kredite X₁ = X₂ = 50.000e an zwei unterschiedliche Unternehmen vergibt. Jedes Unternehmen kann unabh¨angig vom anderen mit Wahrscheinlichkeit 0,8% ausfallen.

c) Berechnen Sie VaR_α(X₁), VaR_α(X₂) und VaR_α(^X1+X₂ ²) f¨urα= 0,01.

Was zeigt ihnen dieses Beispiel ¨uber den VaR_α? Was ist die ¨okonomische Interpre- tation?

Aufgabe 4: Sei%ein normalisiertes monet¨ares Risikomaß auf X. Zeigen Sie, dass jeweils zwei der folgenden Eigenschaften die verbleibende dritte Eigenschaft implizieren:

• Konvexit¨at

• Positive Homogenit¨at

• Subadditivit¨at