Ubungsblatt 09 zur Finanzmathematik I ¨

Ubungsblatt 09 zur Finanzmathematik I ¨

Prof. Dr. T. Meyer-Brandis, J. Widenmann

Abgabe (freiwillig): Donnerstag 17.01.13 in der ¨Ubung.

Aufgabe 1: Seien Ω ={(1,1),(1,−1),(−1,1),(−1,−1)}, F =P(Ω) und sei P gegeben durch P({(i, j)}) = 1/4 f¨ur i, j ∈ {−1,1}. Weiter sei Y₁(i, j) = 4ⁱ und Y₂(i, j) = 4^j. Betrachten Sie den Zweiperiodenmarkt gegeben durch ein Num´eraire S⁰ mit S_t⁰ = 1, t = 0,1,2, und durch eine Aktie S¹ mit S_t¹ = Qt

u=1Yu, t = 0,1,2, mit der Filtration F₀ = {∅,Ω}, F₁ = σ(Y₁), F₂ = F. Wir f¨uhren eine amerikanische Option C mit C_t = min0≤u≤tS_u¹, t= 0,1,2, ein.

a) Bestimmen Sie die Menge Π(H) der arbitragefreien Preise von C.

b) Geben Sie die Stoppzeiten τ_min und τ_max unter P^∗ an.

Aufgabe 2: Seien Ω = {−1,1}² ={(i, j)|i, j ∈ {−1,1}}, F =P(Ω) und sei P gegeben durchP({(i, j)}) = 1/4P

ω∈Ωδ_ω. Weiter seiY₁(i, j) =i·2ⁱund Y₂(i, j) =j·2^j. Betrachten Sie den Zweiperiodenmarkt gegeben durch ein Num´eraire S⁰ mit S_t⁰ = 1, t= 0,1,2, und durch eine Aktie S¹ mit S_t¹ = 2 +Pt

u=1Y_u, t = 0,1,2, mit der Filtration F₀ = {∅,Ω}, F₁ =σ(Y₁),F₂ =F. Wir f¨uhren eine amerikanische Lookback-Call-OptionC = (C_t)_t=0,1,2 mit C_t= (S_t¹−min0≤u≤tS_u¹)⁺, ein.

a) Geben Sie f¨ur den betrachteten Markt die Dichte ^dP_d^∗

P eines zuP ¨aquivalenten Mar- tingalmaßes P^∗ an.

b) Berechnen Sie die den arbitragefreien Preis der amerikanischen Lookback-Call-Option.

c) Geben Sie die Stoppzeiten τ_min und τ_max unter P^∗ an.

Aufgabe 3: Sei Ω ={(1,1),(1,−1),(−1,1),(−1,−1)},F =P(Ω) undP({(i, j)}) = 1/4 f¨uri, j ∈ {−1,1}. Weiter seiY₁(1,1) = Y₁(1,−1) = a, Y₁(−1,1) = Y₁(−1,−1) = 1/a und Y₂(1,1) =Y₂(−1,1) =a, Y₂(1,−1) =Y₂(−1,−1) = 1/af¨ur eina >1. Betrachten Sie den Zweiperiodenmarkt gegeben durch ein Num´eraireS_t⁰ = (1+r)^tundSt=Qt

u=1Yu·(1+r)^t, wobeir ∈[0, a−1) undt= 0,1,2. Weiterhin sei eine Filtration gegeben durchF₀ ={∅,Ω}, F₁ =σ(Y₁),F₂ =F. Wir f¨uhren eine amerikanische Call OptionC = (C_t)_t=0,1,2 mit Strike K = 1 ein, alsoCt= (St−1)⁺, t= 0,1,2.

i) Berechnen Sie die Snellsche Einh¨ullendeU^P der diskontierten Option H unter P. ii) SeiT ={τ |τ ist eine Stoppzeit mit τ ≤2}. Berechnen Sie max

τ∈T E^P[H_τ].

iii) Nun betrachten wir den Markt nicht unterP, sondern unter dem Martingalmaß P^∗. Rechnen Sie die Snellsche Einh¨ullendeU^P∗ von H unter P^∗ aus.

iv) Geben Sie die Stoppzeiten τ_min und τ_max unter P^∗ an.

Aufgabe 4: Sei (Ω,F,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien Y₁, Y₂ i.i.d Zufalls- variablen mit PY1 = ¹₃(δ¹

2 +δ₁ +δ₂). Wir konstruieren ein zweiperiodiges Marktmodell (S_t⁰, S_t¹)_t=0,1,2 auf (Ω,F,P) mit der Filtration F₀ = {∅,Ω}, F₁ = σ(Y₁), F₂ = σ(Y₁, Y₂) wie folgt: S⁰ mit S_t⁰ = 1, t = 0,1,2, sei das Num´eraire, w¨ahrend die Aktie S¹ die Werte S₀¹ = 1, S₁¹ = Y₁, S₂¹ = Y₁Y₂ annimmt. Wir f¨uhren eine amerikanische Call Option C mit C_t = (S_t¹−1)⁺, t = 0,1,2, ein. Bestimmen Sie die Menge der arbitragefreien Preise Π(H) von H an. Begr¨unden Sie Ihre Entscheidung bzgl. der Zugeh¨origkeit von Π_inf(H) zu Π(H).