Universit¨at des Saarlandes, Lehrstuhl f¨ur Systemtheorie und Regelungstechnik
SCHRIFTLICHE PR ¨UFUNG aus SYSTEMTHEORIE UND REGELUNGSTECHNIK I
am 05.04.2007
Name:
Vorname(n):
Matrikelnummer: Note:
Aufgabe 1 2 3 4
erreichbare Punkte 9 12 9 10 40
erreichte Punkte
Punkte aus ¨Ubungsmitarbeit Gesamtpunktanzahl
Bearbeitungshinweise:
1. Namen, Vornamen und Matrikelnummer auf dem Deckblatt eintragen.
2. F¨ur jede Aufgabe ein neues Blatt beginnen.
3. Auf jedem Blatt den Namen und die Matrikelnummer angeben.
4. Begr¨unden Sie ausf¨uhrlich Ihre Antworten.
1. In Abbildung 1 ist das Schaltbild eines Gleichstrom-Nebenschlussmotors mit Erregerkreisinduktivit¨atLE, ErregerkreiswiderstandRE, Ankerkreisin- duktivit¨at LA, Ankerkreiswiderstand RA und Massentr¨agheitsmoment JA
des Ankers gezeigt. F¨ur das elektrische Moment des Gleichstrommotors gilt Mel =kiEiA. Die induzierte Spannung ergibt sich zu uind =kiEω.
iA
iE
RA LA
RE
uind
LE
w,Mel
uA
ML
Last
Abbildung 1: Gleichstrom-Nebenschlussmaschine
Der Gleichstrommotor treibt ¨uber eine starre, reibungsfrei gelagerte Welle eine Last mit dem von der Winkelgeschwindigkeit ω abh¨angigen Lastmo- mentML=ML(ω) und Massentr¨agheitsmomentJL an.
(a) Geben Sie das mathematische Modell des Gleichstrom-Nebenschluss- motors in der Form
˙
x=f(x) +g(x)uA
ω=h(x, uA).
an. F¨uhren Sie hierzu eine minimale Anzahl von geeigneten Zustands- gr¨oßen xein.
(b) Im station¨aren Betrieb l¨auft die Last mit einer konstanten Drehzahl ω = ω0 > 0. Berechnen Sie die zugeh¨origen station¨aren Werte des ErregerstromsiE,0, des AnkerstromsiA,0sowie der AnkerspannunguA,0 unter der Annahme, dass RE−kω0 >0.
(c) Linearisieren Sie das Modell aus (a) um einen allgemeinen Arbeits- punkt xR mit uA,R > 0. Bestimmen Sie das charakteristische Poly- nom des linearisierten Systems und geben Sie den zum Erregerkreis geh¨orenden Eigenwert an.
2. Gegeben ist ein lineares, zeitinvariantes SISO-System in Form einer DGL, a3...
x +a2x¨+a1x˙ +a0x=b0u+b2u¨,
mit den Anfangsbedingungen des Zustandes x(0) = x0, ˙x(0) = ¨x(0) = 0, dem Eingangu(t) mit den Anfangsbedingungen u(0) =u0, ˙u(0) = ˙u0 und dem Ausgangy(t) =x(t).
(a) Berechnen Sie die Laplace-Transformation der DGL und geben Sie die Ubertragungsfunktion¨ Gu,y(s) an.
Beachten Sie dabei die in der Definition der ¨Ubertragungsfunktion ver- wendeten Annahmen bez¨uglich der Anfangsbedingungen!
(b) Geben Sie ein Kriterium f¨ur die Realisierbarkeit einer allgemeinen Ubertragungsfunktion¨ G(s) an.
(c) Vor das System wird ein Eingangsfilter P(s) = sN geschaltet. Es gilt also u(s) = P(s)v(s) mit dem neuen Eingang v(t). F¨ur welche Wer- te von N = 0,1,2,3, . . . ist Gv,y(s) realisierbar? Begr¨unden Sie Ihre Wahl. Ordnen Sie den resultierenden ¨Ubertragungsfunktionen auch jeweils die Eigenschaft ’proper’ oder ’strictly proper’ zu.
(d) Es gelte a3 = 0, a2 = 2, a1 = 10, a0 = 12, b2 = 2, b0 = 4. Geben Sie die Steuerbarkeitsnormalform (1-te Standardform) von Gu,y(s) an.
(e) Gegeben ist das lineare, zeitinvariante SISO-System
x˙ =
0 1
−9 −6
x+
0
1
u y =
−7 −6 x+u
Berechnen Sie die Transformationsmatrix V, mit deren Hilfe die Dy- namikmatrix des Systems in Jordan-Normalform transformiert wird.
Nutzen Sie anschließend diese Transformationsmatrix um das obige System in neue Koordinaten zu transformieren.
(f) Gegeben ist das System x˙ =
0 1
−2 −3
x
3. Gegeben sind die ¨Ubertragungsfunktionen G1(s) = s−2
s2−4s+ 8, G2(s) = 5!s2
(s+ 1)6 + 1.
(a) Berechnen Sie die Antwort y(t) der ¨Ubertragungsfunktionen G1 und G2 auf die Eingangsgr¨oße ur(t) =Kt im Laplace-Bereich. Berechnen Sie anschließend die entsprechenden Antworten im Zeitbereich.
(b) Geben Sie ein Kriterium zur ¨Uberpr¨ufung der BIBO-Stabilit¨at sowohl im Frequenz- als auch im Zeitbereich an! Welche der ¨Ubertragungs- funktionen G1 und G2 ist BIBO-stabil?
(c) F¨ur welche der beiden ¨Ubertragungsfunktionen G1 und G2 existiert eine eingeschwungene L¨osung? Berechnen Sie diese anschließend f¨ur die folgende Eingangsgr¨oße
u1(t) =Kσ(t) +Kcos (t) .
4. (a) Welche Bedingungen erf¨ullt eine ¨Ubertragungsfunktion vomeinfachen Typ?
(b) Gegeben sind die folgenden ¨Ubertragungsfunktionen G1(s) = 1
s(s+ 1)s
3 + 1 G2(s) = 10
s2+ 2s+ 1 G3(s) = 1
s−2. Welche der folgenden Regler
P-Regler: R1(s) =P
PD-Regler: R2(s) =V(1 +sT) PI-Regler: R3(s) = V
s (1 +sT)
sind in Kombination mit den obigen Strecken G1(s),G2(s) undG3(s) f¨ur einen Reglerentwurf nach dem FKL-Verfahren unter Verwendung des vereinfachten Schnittpunktkriteriums geeignet?
Begr¨unden Sie Ihre Antwort!
(c) Zeichnen Sie das Bodediagramm der ¨UbertragungsfunktionG1(s). Be- nutzen Sie dazu die beiliegende Vorlage.
(d) F¨ur die Strecke G1(s) soll mithilfe des FKL-Verfahrens ein Regler so entworfen werden, dass der geschlossene Kreis die folgenden Eigen- schaften aufweist:
• Anstiegszeit: tr = 1.5√ 3
• Uberschwingen: ¨¨ u= 25%
• bleibende Regelabweichung auf eine sprungf¨ormige St¨orung:
e∞|d(t)=σ(t)= 0.
W¨ahlen Sie dazu einen geeigneten Regler Ri, i = 1, . . . ,3 aus der obigen Teilaufgabe aus und begr¨unden Sie Ihre Wahl! Berechnen Sie anschließend die Parameter des Reglers so, dass die Anforderungen an den geschlossenen Kreis erf¨ullt werden.
