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Lineare Algebra II, ¨ Ubungen, Sommersemester 2008 2. Klausur am 25.6.2008
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Gruppe Fripertinger — Gruppe Sch¨ opf
1. Sei n ∈ N , v ∈ R
n, k v k = 1 und sei π: R
n→ R
ngegeben durch π(x) := x − h x, v i v, wobei h x, y i := P
ni=1
x
iy
if¨ ur x = (x
1, . . . , x
n), y = (y
1, . . . , y
n) ∈ R
n. (a) Was bedeutet π im Fall n = 2 geometrisch?
(b) Zeigen Sie, dass π keine Isometrie ist und dass k π(x) k ≤ k x k ist f¨ ur alle x ∈ R
n. (c) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von π.
(d) Zeigen Sie, dass π selbst-adjungiert ist.
(e) Beschreiben Sie alle Orthonormalbasen von R
n, bez¨ uglich der die Matrizendarstellungen von π Diagonalgestalt besitzen. Geben Sie eine solche Diagonalmatrix an.
2. Sei V ein endlich-dimensionaler K -Vektorraum mit innerem Produkt, wobei K f¨ ur R oder C steht, dim V = n, n ∈ N . Sei T ein normaler linearer Operator auf V und sei (v
1, . . . , v
n) eine Orthonor- malbasis von V , so dass T bez¨ uglich dieser Basis eine Matrixdarstellung als obere Dreiecksmatrix besitzt. Zeigen Sie, dass diese Matrix sogar eine Diagonalmatrix ist.
3. Geben Sie einen linearen Operator T auf C
4an, dessen charakteristisches Polynom gegeben ist durch z(z − 2)
2(z + i), und dessen Minimalpolynom gleich z(z − 2)(z + i) ist. Begr¨ unden Sie ausf¨ uhrlich, warum das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom von diesem Operator T von der geforderten Gestalt sind.
4. Sei V ein endlich dimensionaler K -Vektorraum mit innerem Produkt, wobei K f¨ ur R oder C steht.
Zeigen Sie: wenn T ein nilpotenter selbst-adjungierter Operator auf V ist, dann ist T = 0.
L¨ osung:
1. (a) Sei x ∈ R
2, dann ist π(x) die Projektion von x auf das orthogonale Komplement von [v] = { λv | λ ∈ R} .
(b) Berechne π(v) = v − h v, v i v = v − k v k
2v = v − v = 0. Also ist k π(v) k = 0 6 = 1 = k v k , weshalb π keine Isometrie ist.
Sei x ∈ R
nbeliebig, dann ist k π(x) k
2=
x − h x, v i v, x − h x, v i v ®
= h x, x i − h x, v ih v, x i − h x, v ih x, v i + h x, v i
2h v, v i
= k x k
2− 2 h x, v i
2+ h x, v ik v k
2= k x k
2− h x, v i
2≤ k x k
2,
da h x, v i
2≥ 0.
(c) Sei x ∈ R
n\ { 0 }. F¨ ur x ∈ [v] gilt x = µv mit µ 6 = 0 und π(x) = µv − h µv, v i v = µv − µv = 0.
Also ist x ein Eigenvektor zum Eigenwert 0.
F¨ ur x ∈ [v]
⊥ist π(x) = x, da h x, v i = 0 ist. Also ist x ein Eigenvektor zu dem Eigenwert 1.
Es gilt R
n= [v] ⊕ [v]
⊥, mit dim[v]
⊥= n − 1. Sei x = w
1+ w
2mit w
16 = 0 6 = w
2, w
1∈ [v] und w
2∈ [v]
⊥, dann ist x kein Eigenvektor von π, denn π(x) = π(w
1+ w
2) = π(w
1) + π(w
2) = 0 + w
26∈
{ µ(w
1+ w
2) | µ ∈ R} . Also sind 0 und 1 die Eigenwerte von π.
(d) Zu zeigen: h π(x), y i = h x, π(y) i f¨ ur alle x, y ∈ R
n. h π(x), y i =
x − h x, v i v, y ®
= h x, y i − h x, v ih v, y i und
h x, π(y) i =
x, y − h y, v i v ®
= h x, y i − h y, v ih x, v i
= h x, y i − h x, v ih v, y i . Also ist π selbstadjungiert.
(e) Behauptung: Die Menge aller Orthonormalbasen von R
n, bez¨ uglich der die Matrizendarstellun- gen von π Diagonalgestalt besitzen, ist
n
B ∪ { v } , B ∪ {− v } | B ist eine Orthonormalbasis von [v]
⊥o
.
Sei B eine Orthonormalbasis von [v]
⊥. Dann sind die Elemente von B Eigenvektoren zum Eigen- wert 1, und die Matrizendarstellung von von π eingeschr¨ ankt auf [v]
⊥ist eine (n − 1) × (n − 1)- Diagonalmatrix deren Diagonalelemente alle gleich 1 sind.
B ∪ { v } bzw. B ∪ {− v } sind dann Orthonormalbasen von R
n, da k v k = k − v k = 1 und v, − v ∈ [v].
Also sind B ∪ { v } bzw. B ∪ {− v } Orthonormalbasen von R
nbestehend aus Eigenvektoren, und die Matrizendarstellungen von π bez¨ uglich dieser Basen hat Diagonalgestalt
diag(1, . . . , 1
| {z }
n−1
, 0).
Bisher haben wir gezeigt, dass die Matrizendarstellungen von π bez¨ uglich aller Basen der Form B ∪ { v } oder B ∪ {− v } , wobei B eine Orthonormalbasis von [v]
⊥ist, Diagonalgestalt besitzen.
Falls umgekehrt π bez¨ uglich einer Orthonormalbasis von R
nDiagonalgestalt besitzt, so m¨ ussen die Basiselemente Eigenvektoren von π sein. Sie liegen also in [v] oder [v]
⊥. Die einzigen Vektoren der L¨ ange 1 in [v] sind v und − v. Die Basiselemente, die in [v]
⊥liegen, bilden eine Orthonormalbasis von [v]
⊥. Also ist jede Orthonormalbasis von R
n, bez¨ uglich der die Matrixdarstellung von π Diago- nalgestalt besitzt, von der Form B ∪ { v } oder B ∪ {− v } , wobei B eine Orthonormalbasis von [v]
⊥ist.
2. Sei die Matrixdarstellung von T gegeben durch
M :=
a
11a
12. . . a
1n0 a
22. . . a
2n.. . . . . .. . 0 0 . . . a
nn
.
Da T normal ist, ist T mit T
∗vertauschbar, d.h. M M
∗= M
∗M . Sei M M
∗= (b
ij)
1≤i,j≤nund M
∗M = (c
ij)
1≤i,j≤n. Dann ist b
ii= P
nj=i
a
ija
ijund c
ii= P
ij=1
a
jia
jif¨ ur 1 ≤ i ≤ n. Aus b
11= c
11folgt
X
n j=1| a
1j|
2= | a
11|
2.
Deshalb ist P
nj=2