Ubungsblatt 11 zur Finanzmathematik I ¨

Ubungsblatt 11 zur Finanzmathematik I ¨

Prof. Dr. T. Meyer-Brandis, J. Widenmann

Abgabe (freiwillig): Donnerstag 31.01.13 in der ¨Ubung.

Aufgabe 1: Sei X ∼ N(µ, σ²) eine normalverteilte Zufallsvariable auf einem Wahr- scheinlichkeitsraum (Ω,F,P). Berechnen Sie VaR_λ(X) und AVaR_λ(X).

Aufgabe 2: Sei X ∼Exp(1), d.h. X besitze die Dichtefunktion fX(x) =e^−x1^[0,∞)(x).

Berechnen Sie V@R_0,05(X) und AV@R_0,05(X).

(Hinweise: Zur Berechnung des AV@R k¨onnen Sie zun¨achst partielle Integration anwen- den. Dann d¨urfen Sie die folgende Relation ohne Beweis verwenden:

Rb a

u

1−udu=h

−ln(1−u)−uib

a,b ≥a≥0.) Aufgabe 3: Sei

F :R→(−2,∞); x7→











e^x−2 x∈(−∞,0)

√x x∈[0,4)

2 x∈[4,5]

log(x+e²−5) x∈(5,∞)

Skizzieren Sie zun¨achst die Funktion F. Bestimmen und skizzieren Sie dann die links- bzw. rechtsstetige Invers-Funktion q⁻ bzw. q⁺ f¨ur F. Geben Sie außerdem eine beliebige weitere Invers-Funktion q f¨urF an.

Aufgabe 4: Sei X =L^∞(Ω,F,P) die Menge allerP-f.s. beschr¨ankten, messbaren Funk- tionen X auf (Ω,F).

a) Geben Sie die allgemeine Definition f¨ur ein monet¨ares Risikomaß?

b) Gegeben λ∈(0,1), definieren Sie den Value at Risk V@R_λ und den Average Value at Risk AV@R_λ einer Finanzposition X ∈ X zum Level λ.

In der Vorlesung werden Sie noch zeigen, dass f¨ur den AV@R_λ insbesondere die Darstel- lung AV@R_λ(X) = max

Q∈Q_λEQ[−X], mit Q_λ =

Q∈ M₁(P)|^dQ_dP ≤ _λ¹ P−f.s. gilt.

Außerdem betrachten wir das folgende monet¨are Risikomaß:

W CE_λ(X) := sup{EP[−X|A]|A∈ F,P(A)> λ}.

c) Zeigen Sie, dass f¨ur alleX ∈ X gilt:

AV@R_λ(X) ≥ W CE_λ(X) ≥ E[−X| −X ≥V@R_λ(X)] ≥ V@R_λ(X) d) Zeigen Sie, dass die ersten beiden Ungleichungen tats¨achlich Gleichheit liefern, wenn

P(X ≤q_X⁺(λ)) =λ.

Dies ist insbesondere der Fall, wenn X eine stetige Verteilungsfunktion F_X besitzt.