Ubungsblatt 6 zur Finanzmathematik I ¨
Prof. Dr. T. Meyer-Brandis, J. Widenmann
Abgabe (freiwillig): Donnerstag 29.11.12 in der ¨Ubung.
Aufgabe 1: Gegeben sei ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,(Ft)t=0...T,P) und ein zu P ¨aquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß Q mit Radon-Nikodym-Dichte dQ
dP. Nat¨urlich sind P und Q auch ¨aquivalente Wahrscheinlichkeitsmaße auf den Messr¨aumen (Ω,Ft), t = 0, ..., T. Wir bezeichnen mit dQdP
F
t die Dichte des auf Ft eingeschr¨ankten Maßes Q|Ft bzgl. des auf Ft eingeschr¨ankten Maßes P|Ft. Der stochastische, adaptierte Prozess
dQ dP
F
t
t=0,...,T wird der Dichteprozess vonQ bzgl. Pgenannt.
a) Zeigen Sie, dass dQdP
Ft =EP
dQ
dP
Ft
P-f.s..
b) Zeigen Sie, dass der Dichteprozess ein Martingal ist.
Aufgabe 2: Sei St1 >0P-f.s. f¨ur alle t= 0, ..., T. Wir bezeichnen mit Y¯t = (Yt0, Yt1, ..., Ytd) :=
St0 St1,1,St2
St1, ...,Std St1
, t= 0, ..., T
den durchS1 diskontierten Preisprozess. SeiPedie Menge aller ¨aquivalenten Martingalma- ße f¨ur ¯Y. Dann ist aufgrund des FTAP und der Tatsache dass die Definition von Arbitrage unabh¨angig vom Numeraire ist P 6=e ∅ ⇔ P 6=∅.
a) Zeigen Sie, dass
Pe= (
Pe∗
dPe∗
dP∗ = XT1
X01 f¨ur einP∗ ∈ P )
.
b) Zeigen Sie,
P ∩P 6=e ∅, ⇔ S1 =c∈R+ P−f.s. .
Aufgabe 3: Wir betrachten einen Zweiperiodenmarkt gegeben durch einen Numeraire S0 = (St0)t=0,1,2 mit St0 = 1, t = 0,1,2, sowie eine Aktie S1 = (St1)t=0,1,2 mit S01 = 1, die zu den Zeitpunkten 1 und 2 entweder mit Wahrscheinlichkeit 12 um den Faktor a >1 w¨achst oder um 1a f¨allt, und zwar jeweils unabh¨angig von den vorherigen Zeitpunkten. Der Informationsfluss auf dem Markt sei nur gegeben durch den Verlauf der Aktie S1 (d.h.
die Filtration F = (Ft)t=0,1,2 sei von S1 erzeugt).
a) Modellieren Sie das beschriebene Szenario mit einem sinnvollen filtrierten W’raum.
b) Ist der Markt arbitragefrei?
Aufgabe 4: Gegeben sei ein 3-Perioden Finanzmarkt, bestehend aus einem Num´eraire mit St0 = 1, t = 1, ...,3, (r = 0), sowie einem riskanten Wertpapier S1 gegeben. Es sei S01 = 5 und der Wert von S1 ¨andere sich von einem Zeitpunkt zum n¨achsten unabh¨angig vom aktuellen Wert von S1 additiv entweder mit Wahrscheinlichkeit p= 34 um den Wert u > 0 oder mit Wahrscheinlichkeit 1−p= 14 um den Wert −53 < d < 0. Desweiteren sei F0 ={∅,Ω}, F1 =σ(S01, S11),F2 =σ(S01, S11, S21) sowie F =F3 =σ(S01, S11, S21, S31).
a) Modellieren Sie das beschriebene Szenario mit einem sinnvollen filtrierten W’raum.
b) Ist der Markt arbitragefrei?
Sei nun konkret u= 2 undd =−12.
c) Bestimmen Sie die folgenden bedingten Erwartungswerte:
EP
S21|F1
, EP
X31|F1
, EP
X31|F2
EP∗
S21|F1 , EP∗
X31|F1 , EP∗
X31|F2
