¨Ubungsblatt Finanzmathematik II 1.Aufgabe: Wir haben P τa∈(t, t+dt

Hochschule RheinMain SS 2020 Prof. Dr. D. Lehmann

L¨osungen zum 4. ¨Ubungsblatt Finanzmathematik II

1.Aufgabe: Wir haben P

τ_a∈(t, t+dt]

= P

τ_a≤t+dt

− P

τ_a ≤t

= P

s∈[0,t+dt]max x_s≥a

− P

s∈[0,t]maxx_s ≥a

= 2n P

x_t+dt ≥a

− P

x_t≥ao

Nun ist

P

x_t ≥a

= 1 − P

x_t< a

= 1 − Z a

−∞

e^−x

2t 2t √dxt

2πt

= 1 −

Z a/√ t

−∞

e^−y

2 2 √dy

2π

= 1 − N ^√a_t und damit

P

τ_a ∈(t, t+dt]

= −2n

N ^√_t+dt^a

− N ^√a_to

= −2_dt^dN ^√a

t

dt

= −2(−¹₂)_t3/2^a N^{0 √a}

t

dt

= ^{√ a}

2π t^3/2 e^−a

2 2t dt .

2.Aufgabe: Wegen P

x_t≤a

= Z

R

χ(x_t≤a)pt−0(0, x_t)dx_t

= Z a

−∞

e^−x

2t 2t √dxt

2πt

=

Z a/√ t

−∞

e^−y

2 2 √dy

2π

= N ^√a

t

erhalten wir:

a)

t→∞lim P[x_t≤a] = lim

t→∞N ^√a

t

= N(0) = 1/2 b)

t→∞lim P[xt≤σ√

t] = N(σ) c)

t→∞lim P[x_t≤ct] = lim

t→∞N(c√

t) =

(N(+∞) = 1 fallsc >0 N(−∞) = 0 fallsc <0. Wegen (a >0)

P

s∈[0,t]maxx_s≤a

= 1 − P

s∈[0,t]maxx_s> a

Thm.10.5.a

= 1 − 2P[x_t> a]

= 1 − 2

1−P[x_t≤a]

= 2P[x_t ≤a] − 1

= 2N ^√a

t

− 1 erhalten wir weiter:

d)

t→∞lim P

s∈[0,t]maxxs ≤a

= lim

t→∞

h

2N ^√a_t

− 1 i

= 0 e)

t→∞lim P max

s∈[0,t]x_s ≤σ√ t

= 2N(σ) − 1 f )

t→∞lim P max

s∈[0,t]x_s ≤ct

= lim

t→∞

2N(c√

t) − 1 c>0

= 1

3.Aufgabe: Mit Teil (b) von Theorem 10.5 erhalten wir a)

P

xT ≤1 ∧ max

t∈[0,T]xt ≤2

= N ^√1₁

+N ^2×2−1√₁

−1

= N(1) +N(3)−1 ≈ 0.84

b)

P

x_T ≤1 ∧ max

t∈[0,T]x_t≤2

= N ^√1

100

+N ^2×2−1√

100

−1

= N(0.1) +N(0.3)−1 ≈ 0.16 c)

P

x_T ≥ −3 ∧ min

t∈[0,T]x_t≥ −6

= P

−x_T ≤3 ∧ − min

t∈[0,T]x_t≤6

= P

−x_T ≤3 ∧ max

t∈[0,T]{−x_t} ≤6

= P

x_T ≤3 ∧ max

t∈[0,T]{x_t} ≤6

= N ^√3

9

+N ^2×6−3√

9

−1

= N(1) +N(3)−1 ≈ 0.84.