Hochschule RheinMain SS 2020 Prof. Dr. D. Lehmann
11. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung Finanzmathematik II
1.Aufgabe: In der Vorlesung hatten wir Pricing-Formeln f¨ur Standard Call- und Put- Optionen
Hcall B(T)
= max
B(T) − K , 0 Hput B(T)
= max
K − B(T), 0 auf einen geometrischen Basket
B(t) :=
( m Y
i=1
Si,t Si,0
)m1
angegeben. Sie lauteten:
V0,call = e12
(σimpB )2−1
m
Pm
i=1(σi,Timp)2
T ×N(d2) − K e−rT ×N(d1) (1)
V0,put = −e12
(σimpB )2−1
m
Pm
i=1(σi,Timp)2
T ×N(−d2) + K e−rT ×N(−d1) (2)
mit
d1 := log[1/K] +bT σimpB √
T d2 := d1 + σimpB
√ T
und dem Drift-Parameter
b := r − 1 m
m
X
i=1
(σi,Timp)2 2 und den Volatilit¨aten
(σBimp)2 := 1 m2
m
X
i,j=1 1 T
RT
0 σi,tσj,tρij(t)dt ,
(σi,Timp)2 := T1 RT
0 σi,t2 dt .
Wir wollen jetzt den Fall von konstanten, zeitunabh¨angigen Volatilit¨aten σi,t =σi und kon- stanten, zeitunabh¨angigen Korrelationenρij(t) = ρij betrachten.
..bitte wenden
a) Schreiben Sie f¨ur diesen Fall, also f¨ur zeitlich konstante Volatilit¨aten und Korrelatio- nen, die Pricing-Formeln (1) und (2) noch einmal hin (ok, so viel tut sich da nicht vereinfachen..).
b) Betrachten Sie jetzt den Fall von m = 2 Underlyings, mit zeitlich konstanten Volatilit¨aten σ1 und σ2 und einer zeitlich konstanten Korrelation ρ := ρ12. Geben Sie f¨ur diesen Fall die Pricing-Formeln an.
c) Uberpr¨¨ ufen Sie Ihre Formeln aus Teil (b), also f¨ur 2 Underlyings und mit konstanten Volatilit¨aten und Korrelationen, mit Hilfe einer Monte Carlo Simulation in Excel/VBA.
Die L¨osungen zu diesem ¨Ubungsblatt gibt es am Donnerstag im week12b.xlsm und am n¨achsten Montag gibt es dann die Probe-Klausur.
