AG Theorie der k¨unstlichen Intelligenz FB Mathematik und Informatik, Universit¨at Bremen
Prof. Dr. Carsten Lutz
Cartesium 2.59 clu@uni-bremen.de Tel.: 0421/218-64431
2. Aufgabenblatt f¨ ur die Vorlesung
” Beschreibungslogik“
Aufgabe 1: 20%
Beweise die o↵enen Punkte von Lemma 2.8: f¨ur alle generellen TBoxenT undALC-KonzepteC,Dgilt:
(a) Cist erf¨ullbar bzgl.Tgdw.T6|=C⌘ ? (b)T |=C⌘Dgdw.T |=> v(CuD)t(¬Cu¬D) Use the definitions, luke!
Aufgabe 2: 30%
F¨ur jedes der InterpretationspaareIi,Jiauf der gegen¨uberliegenden Seite bestimme ob es einALC-KonzeptC gibt mitd2CIiunde /2CJioder umgekehrt. Wenn dies der Fall ist, gib das KonzeptCexplizit an. Wenn nicht, gib eine Bisimulation an, die zeigt, dass (Ii, d)⇠(Ji, e).
Aufgabe 3: 20%
Beweise, dass die folgenden Eigenschaften nicht inALCausdr¨uckbar sind, wobeirundsfeste Rollennamen sind:
(a) {d2 I|(d, d)2rI};
(b){d2 I|9e: (d, e)2rIand (d, e)2sI}.
Verwende Bisimulation und verfahre wie im Beweis von Theorem 3.3.
Aufgabe 4: 30%
Folgender Algorithmus berechnet eine Bisimulation zwischen gegebenen endlichen InterpretationenI,J:
•Starte mit der RelationR={(d, e)2 I⇥ J|d2AIgdw.e2AJf¨ur alle KonzeptnamenA}.
•Wiederhole ersch¨opfend:
(i) wenn (d, e)2R, (d, d0)2rIund es kein (e, e0)2rJgibt mit (d0, e0)2R, dann entferne (d, e) ausR (ii) wenn (d, e)2R, (e, e0)2rJund es kein (d, d0)2rIgibt mit (d0, e0)2R, dann entferne (d, e) ausR.
(a) Wende den Algorithmus auf die InterpretationenI3,J3auf der gegen¨uberliegenden Seite an;
(b) Zeige: f¨ur jede beliebige EingabeIundJist die errechnete RelationReine Bisimulation;
(c) Zeige: f¨ur jede beliebige EingabeIundJundjedeBisimulationBzwischenIundJgilt:B✓R (die errechnete RelationRist also diegr¨oßte BisimulationzwischenIundJ).
Hinweis: betrachte die vom Algorithmus berechnete Folge von RelationenR0 R1 · · · Rk=R. Zeige, dassB✓Rif¨ur 0ik.
Aufgabe 5: 20% (Zusatzaufgabe)
Beweise, dass eine der folgenden Aussagen wahr ist und eine falsch:
(a) wenn⇢1und⇢2Bisimulationen zwischenIundJsind, dann auch⇢1[⇢2
(b) wenn⇢1und⇢2Bisimulationen zwischenIundJsind, dann auch⇢1\⇢2
A B
r r
d
A B
r r
r
I1: J1: e
r
r
r
d
s
s A
A
A
B
B
A A B B
B
r r s
e
s r s
r
I2: J2:
r r
d
r r r
A B
A B
r
r r
I3: J3: e
