• Keine Ergebnisse gefunden

3. Aufgabenblatt f¨ ur die Vorlesung

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Aktie "3. Aufgabenblatt f¨ ur die Vorlesung"

Copied!
1
0
0

Wird geladen.... (Jetzt Volltext ansehen)

Volltext

(1)

AG Theorie der k¨ unstlichen Intelligenz FB Mathematik und Informatik, Universit¨ at Bremen

Prof. Dr. Carsten Lutz

MZH 3090

clu@informatik.uni-bremen.de Tel.: 0421/218-64431

3. Aufgabenblatt f¨ ur die Vorlesung

” Komplexit¨ atstheorie“

Aufgabe 11: 5 Punkte

Ubersetze folgende 3-Formel ¨ ϕ in einen Graph G und eine Zahl k wie in der Reduktion von 3SAT auf das Cliquen- problem aus der Vorlesung:

(a ∨ b ∨ ¬c) ∧ (¬b ∨ c ∨ ¬a) ∧ (b ∨ ¬c ∨ ¬a) Benutze G und k um zu entscheiden, ob ϕ erf¨ ullbar.

Aufgabe 12: 18 Punkte Beweise oder wiederlege:

(a) Wenn L

0

∈ P und L ≤

p

L

0

, dann L ∈ P;

(b) Wenn L

0

∈ NP und L ≤

p

L

0

, dann L ∈ NP ; (c) L

1

p

L

2

und L

2

p

L

3

impliziert L

1

p

L

3

;

(d) Wenn L NP -hart ist und L ≤

P

L

0

, dann ist L

0

NP -hart;

(e) Wenn P = NP , dann ist jedes L ∈ NP auch NP -vollst¨ andig;

(f) Wenn L

1

p

L

2

, dann L

1

p

L

2

, wobei f¨ ur L ⊆ Σ

gilt: L := {w ∈ Σ

| w / ∈ L};

(g) Wenn L

1

⊆ L

2

und L

1

NP -hart, dann auch L

2

NP -hart.

Aufgabe 13: 10 Punkte

Beweise, dass IPROG NP-hart ist (beachte die Hinweise aus der Vorlesung).

Aufgabe 14: 10 Punkte

Eine 3-Formel ϕ heisst Spezialformel, wenn jede Variable h¨ ochstens zwei mal in ϕ vorkommt (wobei sowohl positive als auch negative Vorkommen gez¨ ahlt werden). Sei S3SAT die Menge aller erf¨ ullbaren Spezialformeln. Beweise, dass S3SAT in P ist.

Hinweis: Manipuliere die Formel zun¨ achst so, dass jede Variable h¨ ochstens einmal vorkommt. Zeige dann, dass die Erf¨ ullbarkeit eine solchen Formel leicht in Polynomialzeit entscheidbar ist.

Aufgabe 15: 10 Punkte (Zusatzaufgabe)

Sei ϕ eine AL-Formel. Eine 6=-Wertzuweisung f¨ ur die Variablen in ϕ ist eine Wertzuweisung so dass jede Klausel in ϕ mindestens zwei Literale mit ungleichen Wahrheitswerten enth¨ alt. Mit anderen Worten: eine 6=-Wertzuweisung erf¨ ullt ϕ ohne in irgendeiner Klausel alle drei Literale wahr zu machen. Sei 6=3SAT die Menge aller 3-Formeln, f¨ ur die es eine 6=-WZ gibt. Beweise, dass 6=3SAT NP-vollst¨ andig ist.

Hinweis: verwende eine Reduktion von 3SAT, die jede 3SAT-Klausel in zwei 6=3SAT-Klauseln umwandelt. Um die

Korrektheit der Reduktion zu beweisen, hilft es wahrscheinlich, folgendes zu zeigen: wenn man die Wahrheitswerte

einer 6=-WZ fr eine AL-Formel ϕ vertauscht (wahr durch falsch, falsch durch wahr), erh¨ alt man wieder eine 6=-WZ

f¨ ur ϕ.

Referenzen

ÄHNLICHE DOKUMENTE

Bitte EMail-Adressen auf L¨ osungszetteln angeben, damit wir Euch ¨ uber die erreichte Punktzahl informieren

Zeigen Sie, dass man falls CLIQUE ∈ P auch in Polynomialzeit eine k-Clique in einem gegebenen Graphen G berechnen kann, wenn sie existiert.. Sie d¨ urfen dabei annehmen, dass

(d) ALC hat zwar die Baummodelleigenschaft und die endliche Modelleigenschaft, aber nicht die endliche Baum- modelleigenschaft : es gibt ein Konzept C und eine generelle TBox T ,

zwischen zwei beliebigen Elemente existiert immer noch ein weiteres (a) Welche der S¨ atze sind g¨ ultig in den Strukturen R < bzw. Welche der S¨ atze gelten

Wir wollen zeigen, dass die Struktur der nat¨ urlichen Zahlen N mit 0 und der Nachfolgerfunktion nf in SO

Um die Korrektheit der Reduktion zu beweisen, hilft es wahrscheinlich, folgendes zu zeigen: wenn man die Wahrheitswerte einer 6=-WZ f¨ ur eine AL-Formel ϕ vertauscht (wahr durch

(b) jede gerade Zahl außer der 2 ist als Summe zweier Primzahl darstellbar (Goldbachsche Vermutung) (c) f¨ ur jede Zahl x und jede Primzahl y, so dass x nicht durch y teilbar ist,

Es darf angenommen werden, dass E in allen betrachteten Strukturen eine symmetrische Relation ist (was der Ungerichtetheit der Graphen entspicht).. (a) 3-F¨ arbbarkeit (b)