AG Theorie der k¨unstlichen Intelligenz FB Mathematik und Informatik, Universit¨at Bremen
Prof. Dr. Carsten Lutz
Cartesium 2.59 clu@uni-bremen.de Tel.: 0421/218-64431
2. Aufgabenblatt f¨ ur die Vorlesung
” Beschreibungslogik“
Aufgabe 1: 20%
Beweise die o↵enen Punkte von Lemma 2.8: f¨ur alle generellen TBoxenT undALC-KonzepteC,Dgilt:
(a) Cist erf¨ullbar bzgl.T gdw.T6|=C⌘ ? (b) T |=C⌘Dgdw.T |=> vC$D Use the definitions, luke!
Aufgabe 2: 30%
F¨ur jedes der InterpretationspaareIi,Jiauf der gegen¨uberliegenden Seite bestimme ob es einALC-KonzeptC gibt mitd2CIiunde /2CJioder umgekehrt. Wenn dies der Fall ist, gib das KonzeptCexplizit an. Wenn nicht, gib eine Bisimulation an, die zeigt, dass (Ii, d)⇠(Ji, e).
Aufgabe 3: 30%
Beweise oder widerlege, dass f¨ur alle InterpretationenIundJgilt:
(a) wenn⇢1und⇢2Bisimulationen zwischenIundJsind, dann auch⇢1[⇢2
(b) wenn⇢1und⇢2Bisimulationen zwischenIundJsind, dann auch⇢1\⇢2
(c) wenn⇢1Bisimulation zwischenI undJ ist und⇢2Bisimulation zwischenJ undK, dann ist⇢1 ⇢2= {(d, e)|9f:d⇢fundf⇢e}Bisimulation zwischenIundK.
Aufgabe 4: 20%
Beweise, dass die folgenden Formeln der Pr¨adikatenlogik nicht inALCausdr¨uckbar sind:
(a) 9y9z(r(x, y)^r(x, z)^r(y, z)) (b) 8y(A(y)!r(x, y) )
Verwende Bisimulation und verfahre wie im Beweis von Theorem 3.3.
Aufgabe 5: 20% (Zusatzaufgabe)
Betrachte folgenden Algorithmus zum Berechnen einer Bisimulation zwischen gegebenen InterpretationenI,J:
•Starte mit der RelationR={(d, e)2 I⇥ J|d2AIgdw.e2AJf¨ur alle KonzeptnamenA}.
•Wiederhole ersch¨opfend:
–wenn (d, e)2R, (d, d0)2rIund es kein (e, e0)2rJ gibt mit (d0, e0)2R, dann entferne (d, e) ausR –wenn (d, e)2R, (e, e0)2rJ und es kein (d, d0)2rIgibt mit (d0, e0)2R, dann entferne (d, e) ausR.
Zeige folgendes:
(a) Rist eine Bisimulation;
(b) F¨urjedeBisimulationBzwischenIundJgiltB✓R(Rist diegr¨oßte BisimulationzwischenIundJ).
A B
r r
d
A B
r r
r
I1: J1: e
r
r
r
d
s
s A
A
A
B
B
A A B B
B
r r s
e
s r s
r
I2: J2:
r r
d
r r r
A B
A B
r
r r
I3: J3: e
