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3. Aufgabenblatt f¨ ur die Vorlesung

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Academic year: 2021

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AG Theorie der k¨ unstlichen Intelligenz FB Mathematik und Informatik, Universit¨ at Bremen

Prof. Dr. Carsten Lutz

MZH 3090 clu@uni-bremen.de Tel.: 0421/218-64431

3. Aufgabenblatt f¨ ur die Vorlesung

” Beschreibungslogik und Ontologiesprachen“

Aufgabe 10: 9 Punkte

F¨ ur jedes der Interpretationspaare I

i

, J

i

in Anhang I, bestimme ob es ein ALC-Konzept C gibt mit d ∈ C

Ii

und e / ∈ C

Ji

oder umgekehrt. Wenn dies der Fall ist, gib das Konzept C explizit an. Wenn nicht, zeige dass (I

i

, d) ∼ (J

i

, e).

Aufgabe 11: 6 Punkte

Konstruiere das Unravelling der Interpretation J

2

in Anhang I an der Stelle e. F¨ uhre dazu zun¨ achst Namen f¨ ur die unbenannten Elemente ein. Halte Dich bei der Konstruktion exakt an Definition 3.5 aus der Vorlesung. Eine graphische Darstellung des Unravellings ist ausreichend.

Aufgabe 12: 6 Punkte

Sei C = A und T = {A v ∀r.B, A u B v ∀r.B, ¬B v ∃r.A}. Konstruiere die Filtration des Modells in Anhang II bzgl. C und T . Halte Dich bei der Konstruktion exakt an Definition 3.12 aus der Vorlesung.

Aufgabe 13: 10 Punkte Beweise oder widerlege:

(a) Jede generelle TBox hat mindestens ein Modell.

(b) Jede generelle TBox hat entweder kein Modell oder unendlich viele Modelle.

(c) Es gibt eine generelle TBox, die ein Modell hat und deren Modelle alle endlich sind.

(d) ALC hat zwar die Baummodelleigenschaft und die endliche Modelleigenschaft, aber nicht die endliche Baum- modelleigenschaft : es gibt ein Konzept C und eine generelle TBox T , so dass C erf¨ ullbar bzgl. T und jedes Modell von C und T entweder unendlich ist oder nicht baumf¨ ormig.

Die Resultate aus Kapitel 3 d¨ urfen verwendet werden.

Aufgabe 14: 5 Punkte (Zusatzaufgabe)

Beweise, dass die folgende Formel der Logik erster Stufe nicht in ALC ausdr¨ uckbar ist:

∃y, z .( r(x, y) ∧ r(x, z) ∧ r(y, z)) Verwende Bisimulation und verfahre wie im Beweis von Theorem 3.3.

Aufgabe 15: 10 Punkte (Zusatzaufgabe)

Wenn ein Konzept D syntaktisch ein Teil eines Konzeptes C ist, so heisst D Teilkonzept von C. Zum Beispiel ist

∃r.A ein Teilkonzept von ∀s.(B t ∃r.A). Jedes Konzept ist auch Teilkonzept von sich selbst.

Gib eine formale Definition die Menge sub(C) der Teilkonzepte eines Konzeptes C an. Verwende dabei Induktion

¨

uber die Struktur von C. Beweise dann per Induktion ¨ uber die Struktur von C, dass |sub(C)| ≤ |C| gilt, f¨ ur alle

ALC-Konzepte C.

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