µ dt + σ dxt (1) und St(r) sei der risikoneutrale Preis-Prozess, gegeben durch die SDE dSt(r)/St(r

Hochschule RheinMain SS 2020 Prof. Dr. D. Lehmann

3. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung Finanzmathematik II

1.Aufgabe: Es sei S_t =S_t^(µ)ein ‘real world’ Preis-Prozess im Black-Scholes Modell gegeben durch die stochastische Differentialgleichung (SDE, Stochastic Differential Equation)

dS_t^(µ)/S_t^(µ) = µ dt + σ dx_t (1)

und S_t^(r) sei der risikoneutrale Preis-Prozess, gegeben durch die SDE

dS_t^(r)/S_t^(r) = r dt + σ dx_t (2)

Die Gleichungen (1) und (2) werden gel¨ost durch

S_t^(µ) = S₀^(µ)e^{σxt+(µ−σ2/2)t} S_t^(r) = S₀^(r)e^{σxt+(r−σ2/2)t}

wobei S₀^(µ) = S₀^(r) = S₀ durch den aktuellen, jetzt bekannten Preis des Basiswertes gegeben ist. Es sei dW({x_t}0<t≤T) das Standard-Wiener-Maß und dW˜({x_t}0<t≤T) das risikoneutrale Pricing-Maß, gegeben durch

dW˜({x_t}0<t≤T) = lim

∆t→0

QT /∆t k=1

p(x˜ _tk−1, x_tk)dx_tk mit t_k =k∆t und

˜

p_t(x, y) = ^√_2πt¹ e^−2t1(^{x−y−µ−r}_σ ^t)² . In der Vorlesung wurde bewiesen, dass

EW˜

H(S_t^(µ)₁ , ..., S_t^(µ)_m)

= E_W

H(S_t^(r)₁ , ..., S_t^(r)_m)

(3) gilt f¨ur eine beliebige Funktion H : R^m → R. In dieser Aufgabe wollen wir die Formel (3) verifizieren, indem wir die linke und die rechte Seite von (3) explizit berechnen f¨ur die folgenden F¨alle (a) und (b):

a) H :R→R mit 0< t < T, α∈R und

H(S_t) = S_t^α b) H :R² →R mit 0< t₁ < t₂ < T und

H(S_t1, S_t2) = S_t2 S_t1