Gegeben sei die folgende Teilmenge des R 3 : U :=

KLAUSUR–BEISPIEL zur Mathematik f¨ ur Wirtschaftswissenschaftler

Aufgabe 1 (10P):

Gegeben sei die folgende Teilmenge des R ³ : U :=

(x 1 , x 2 , x 3 ) ^t : x 1 , x 2 , x 3 ∈ R ∧ x 3 = x 2 = 2 · x 1 .

Uberpr¨ufen Sie, ob die Menge ¨ U ein Unterraum des R ³ ist und geben Sie eine geometrische Interpretation von U an.

Aufgabe 2 (10P):

Gegeben sei die lineare Abbildung

ϕ :



 



 



R ³ −→ R ³



 x 1

x 2

x 3



 7−→





x 2 + x 3

2x 1 + x 3

3x 1 − x 2 + x 3



 .

Bestimmen Sie die zugeh¨orige Abbildungsmatrix bzgl. der kanonischen Basis im R ³ und den Kern dieser Abbildung.

Aufgabe 3 (10P):

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem:

x 1 + x 2 − 2x 3 − x 4 = 1

− 2x 1 + x 2 − 5x 3 + 2x 4 = 4 Bestimmen Sie eine Basis des Nullraums und die L¨osungsmenge.

Aufgabe 4 (10P):

Bestimmen Sie alle a ∈ R, f¨ur die das lineare Gleichungssystem







a · x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + a · x 2 + x 3 = a x 1 + x 2 + a · x 3 = a ² genau eine L¨osung hat.

Aufgabe 5 (5P+5P):

Berechnen Sie, f¨ur n → ∞ , die Grenzwerte der Folgen (a ⁿ ) n ∈ N und (b ⁿ ) n ∈ N mit:

a) a n = (2n − 1) ² n ² − 3n + 1 . b) b n = 2 ²ⁿ⁺¹ − 1

4 ⁿ + 1 .

1

2

Aufgabe 6 (5P+5P):

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:

a) X

n ≥ 1

n + 2 2n ³ − 1 , b) X

n ≥ 0

3n + 1 2n + 1

²ⁿ .

Aufgabe 7 (10P):

F¨ur welches a ∈ R ist die Funktion f (x) :=







x ² − a

x − 3 f¨ur x ∈ R \ { 3 } , 6 f¨ur x = 3 stetig in x = 3?

Aufgabe 8 (10P):

Gegeben seien die Funktion f und ihre Ableitung f ^′ :

f (x) = e ^{2 x − x 2} und f ^′ (x) = 2 (1 − x) · e ^{2 x − x 2} . Bestimmen Sie

a) die Definitionsbereiche von f und f ^′ ,

b) die zweite Ableitung f ^′′ und deren Definitionsbereich, c) das Kr¨ummungsverhalten von f ,

d) die Wendepunkte.

Aufgabe 9 (10P):

Bestimmen Sie das globale Minimum und das globale Maximum der Funktion f (x, y) = x · y

auf der Ellipse { (x, y) ∈ R ² mit 2x ² + y ² ≤ 4 } .

Aufgabe 10 (5P+5P):

a) Bestimmen Sie die folgende Stammfunktion Z

2x · ln x dx.

b) Berechnen Sie das folgende uneigentliche Integral Z ∞

1

1 2 √

x · e ^{− √ x} dx.