a) Es seien (W i (t), t ≥ 0), i = 1, 2 zwei voneinander unabh¨ angige Standard- Wienerprozesse ¨ uber (Ω, F, P ), X i (t), t ≥ 0

Prof. Dr. Uwe K¨ uchler WS 2005/06 Institut f¨ ur Mathematik

Stochastische Differentialgleichungen 6. ¨ Ubung, 9. 01. 2006

1. Eine zweidimensionale Itˆ oformel

a) Es seien (W _i (t), t ≥ 0), i = 1, 2 zwei voneinander unabh¨ angige Standard- Wienerprozesse ¨ uber (Ω, F, P ), X _i (t), t ≥ 0

, i = 1, 2 zwei Itˆ o-Prozesse der Form

dX _i (t) = f _i (t) dt + g _i (t) dW _i (t) t ≥ 0, i = 1, 2

mit f _i ∈ L ω ¹ ([0, ∞]) , g _i ∈ L ω ² ([0, ∞]). Weiterhin sei F = F (t, x ₁ , x ₂ )| _[0,∞)×IR

eine reellwertige C ^1,2,2 -stetige Funktion.

Man ¨ uberlege sich, daß gilt:

F t, X ₁ (t), X ₂ (t)

= F 0, X ₁ (0), X ₂ (0) +

Z t

0

F _t s, X ₁ (s), X ₂ (s) ds +

2

X

i=1

Z t

0

F _x

s, X ₁ (s), X ₂ (s)

dX _i (s)

+ 1 2

2

X

i=1

Z t

0

F _x

_x

s, X ₁ (s), X ₂ (s)

g _i ² (s) ds.

b) Man zeige mittels a), daß gilt:

d X ₁ (t), X ₂ (t)

= X ₁ (t) dX ₂ (t) + X ₂ (t) dX ₁ (t), t ≥ 0.

c) Welche Formeln w¨ urden sich in a) und b) ergeben, wenn

W ₁ (t) = W ₂ (t) =: W (t), t ≥ 0 gilt?

2. Es sei (Y _t , t ≥ 0) die L¨ osung der Differenzialgleichung dY _t = g _t Y _t dW _t , Y ₀ = 1, d.h.

Y _t = exp Z t

0

g _s dW _s − 1 2

Z t

0

g _s ² ds

, t ≥ 0, wobei (g _t , t ≥ 0) ∈ L ω ² [0, ∞)

gelte (siehe Aufgabe 4.4.).

Es gelte (f _t , t ≥ 0) ∈ L _ω ¹ [0, ∞)

. Zeigen Sie, daß Z _t := F _t Y _t , t ≥ 0 mit F _t = exp

Z t

0

f _s ds

eine L¨ osung der Differenzialgleichung

dZ _t = f _t Z _t dt + g _t Z _t dW _t , t ≥ 0, ist.

Es sei r > 0. Man l¨ ose die Differenzialgleichung

dU t = f t U t dt + r dt + g t U t dW t , t ≥ 0, U 0 = x > 0.

Hinweis: Leiten Sie zun¨ achst eine Differenzialgleichung f¨ ur V t := exp

− Z t

0

g s dW s + 1 2

Z t

0

g ² _s ds

U t , t ≥ 0, V 0 = x her und bestimmen Sie deren L¨ osung trajektorienweise.

3. Es seien (W (t), t ≥ 0) ein Standard-Wienerprozess ¨ uber (Ω, F , P ) und r, K, β, x positive Konstanten.

Die logistische Differentialgleichung

˙

x(t) = rx(t) K − x (t)

, x(0) = x (1)

wird als Modell f¨ ur das Wachstum von Populationen vom Umfang x(t) von Lebewesen in einer Umgebung verwendet, die die Kapazit¨ at K besitzt und deren Qualit¨ at durch r quantifiziert wird.

Unterliegt K schnellen zuf¨ alligen Fluktuationen, so modelliert man den Um- fang X(t) der Population durch

dX(t) = rX(t) K − X(t)

dt + βX(t) dW t , X(0) = x. (2) Man leite aus (2) eine stochastische Differenzialgleichung f¨ ur Y _t := X _t ⁻¹ , t ≥ 0 her und l¨ ose diese unter Verwendung von Aufgabe 2.

Bestimmen Sie nunmehr die L¨ osung (X(t), t ≥ 0) von (2).

4.* a) Man l¨ ose die Differenzialgleichung

dY t = r dt + αY t dW t , Y 0 = 1.

Hinweis: Man leite zun¨ achst eine Differenzialgleichung f¨ ur Z _t = Y _t exp

−αW _t + α ² 2 t

, t ≥ 0 her und l¨ ose diese trajektorienweise.

b) Mit der gleichen Methode l¨ ose man die Differenzialgleichung dX _t = 1

X _t dt + αX _t dW _t , t ≥ 0, X ₀ = 1.

5.* a) Es seien (W (t), t ≥ 0) ein Standard-Wienerprozeß ¨ uber (Ω, F, P ) und a, b positive Zahlen. Durch

X ₁ (t) = a cos W _t , X ₂ (t) = b sin W _t , t ≥ 0 ist ein zweidimensionaler Prozeß X(t) = X ₁ (t), X ₂ (t) T

, t ≥ 0, definiert.

Man zeige, daß (X(t), t ≥ 0) L¨ osung der Differentialgleichung dX(t) = − 1

2 X _t dt + M X(t) dW _t , X(0) = (a, 0) ^T mit M =

0 − ^a _b

b

a 0

ist. Beschreiben Sie die Bahn des Prozesses X(t), t ≥ 0 in der Ebene.

b) Welcher Differenzialgleichung gen¨ ugt Y (t) = cosh W _t , sinh W _t T

, t ≥ 0?