1. Es seien (W (t), t ≥ 0) ein Standard-Wienerprozeß ¨ uber (Ω, F, P ) und F t W :=

Prof. Dr. Uwe K¨ uchler WS 2005/06 Institut f¨ ur Mathematik

Stochastische Differentialgleichungen 2. ¨ Ubung, 31. 10. 2005

1. Es seien (W (t), t ≥ 0) ein Standard-Wienerprozeß ¨ uber (Ω, F, P ) und F _t ^W :=

σ(W _s , s ≤ t), t ≥ 0. Man zeige: Durch F _t+ ^W := ^\

s>t

F _s ^W , t ≥ 0 und F _t− ^W := ^_

s<t

F _s ^W , t > 0, F ₀₋ ^W := F ₀ ^W sind Filtrationen (F _t− ^W ) und (F _t+ ^W ) definiert mit den Eigenschaften

a) F _s ^W ⊆ F _t− ^W ⊆ F _t ^W ⊆ F _t+ ^W ⊆ F _u ^W f¨ ur alle s, t, u mit s < t < u.

b) Die Filtration (F _t+ ^W ) ist rechtsstetig.

c) {W _t+

n

= W t f¨ ur unendlich viele n ≥ 1} ∈ F _t+ ^W \F _t ^W .

d) F¨ ur jedes s > 0 ist (W (s + t) − W (s), t ≥ 0) ein Standard-Wienerprozeß.

Er ist unabh¨ angig von F _s+ ^W .

e) Folgende Prozesse sind ebenfalls Standard-Wienerprozeße:

(−W (t), t ≥ 0), (tW ( 1

t ), t > 0, W 0 = 0).

f) (W ² (t), t ≥ 0) ist ein Submartingal und (W ² (t) − t, t ≥ 0) ist ein Martin- gal.

2. Es sei (W (t), t ≥ 0) ein Wienerprozeß mit den Parametern µ und σ ² . Man beweise:

a) Die quadratische Variation < W > _t ist gleich σ ² t.

b) Ist a > 0 und τ _a (ω) := inf{t > 0 | W (t) ≥ a}, so gilt

{τ a < t} ∈ F _t ^W , t > 0.