˜Wt, t ≥ 0) mit W˜t =U Wt ebenfalls ein n-dimensionaler Standard Wienerprozeß ist

Prof. Dr. Uwe K¨uchler WS 2005/06 Institut f¨ur Mathematik

Stochastische Differentialgleichungen 4. ¨Ubung, 28. 11. 2005

1.* Ist W = (W_t, t ≥ 0) ein reellwertiger Standard Wienerprozeß, so sind die Zufalls- gr¨oßen

U_n = Z 1

0

cos(nπs)dW_s

voneinander unabh¨angig und identisch verteilt. Beweisen Sie diesen Sachverhalt.

Welche Verteilung haben die U_n?

2.* Es seien W = (W_t, t ≥ 1) ein n-dimensionaler Standard Wienerprozeß und U eine orthogonale n ×n-Matrix, d.h. U U^T = I. Man zeige, daß ˜W = ( ˜W_t, t ≥ 0) mit W˜_t =U W_t ebenfalls ein n-dimensionaler Standard Wienerprozeß ist.

3.* Zeigen Sie: Ist W = (Wt, t ≥0) ein Standard Wienerprozeß und ist (fn) eine Folge beschr¨ankter meßbarer Funktionen auf [0,1] mit lim

n→∞sup

[0,1]

|f_n(s)|= 0, so gilt

IE

Z 1

0

f_ndW

p

−→0 f¨ur jedes p∈[1,∞).

4. Es sei W = (W_t, t≥ 0) ein Standard Wienerprozeß. Zeigen Sie, daß f¨ur jedes p >0 und t_i = _nⁱ, i= 0, . . . , ndie Folge

n^p2−1

n−1

X

i=0

|W_ti+1−W_ti|^p

1

in Wahrscheinlichkeit gegen eine positive Konstante v_p konvergiert, falls n −→ ∞ gilt.

Was folgt daraus f¨ur diep-Variation

n→∞lim

n

X

i=1

|W_ti+1−W_ti|^p ?

Hinweis: Man nutze die Skalierungseigenschaftc¹²Wt

=d Wct, t≥0 und das schwache Gesetz der großen Zahlen.

5. SindX₁, X₂, . . . , X_nunabh¨angige, zentrierte Zufallsgr¨oßen ¨uber (Ω,F, IP), so gilt f¨ur jedes >0

IP max

1≤k≤n|

k

X

i=1

X_i| ≥

!

≤ 1 ²

n

X

i=1

IE(X_i²). (Kolmogorovsche Ungleichung) Hinweis: Mit den Bezeichnungen

S_k:=

k

X

i=1

X_i, k = 1, . . . n, τ := min{k : |S_k| ≥}, τ :=∞, falls|S_k|< , k= 1, . . . , n, A_k :={τ =k}

gilt

A:=

(

1≤k≤nmax |

k

X

i=1

X_i| ≥ )

=

n

[

k=1

A_k und A_k∩A_l =∅ f¨ur k 6=l.

Zeigen Sie zun¨achst, daß

²IP(A_k)≤IE S_n²1_Ak

gilt, indem Sie S_n=S_n−S_k+S_k und die Unabh¨angigkeitsvoraussetzung nutzen.

Bemerkung:F¨urX ∼ N(0, σ²), p≥1 gilt IE(|X|^p) = 2^p2

π¹²Γ

p+ 1 2

mit Γ(s) = Z ∞

0

e^−xx^s−1dx, s≥1.

Die *-Aufgaben sind schriftlich am 5.12.05 abzugeben.

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