Prof. Dr. Uwe K¨uchler Institut f¨ur Mathematik Statistik stochastischer Prozesse 5. ¨Ubung, 27. 06. 2005 1. Es sei (X

Prof. Dr. Uwe K¨ uchler Institut f¨ ur Mathematik

Statistik stochastischer Prozesse 5. ¨ Ubung, 27. 06. 2005

1. Es sei (X

, n ≥ 0) ein autoregressiver Prozeß erster Ordnung mit Gaußschem Rauschen, d.h. es gelte

X

= αX

+ ε

, n ≥ 0

mit X

∼ N (µ, σ

), (ε

) unabh¨ angig identisch N(0, σ

)-verteilt, X = (X

, X

, . . . , X

).

Man bestimme eine suffiziente Statistik f¨ ur α, als Funktion von X.

2. Es sei (Ω, A , P , X ) ein statistisches Modell mit P = (P

, ϑ ∈ Θ) und es sei H(X) eine erwartungstreue Sch¨ atzung f¨ ur γ(ϑ):

E

H(X) = γ(ϑ), ϑ ∈ Θ.

H sei eine suffiziente σ-Algebra f¨ ur P bez. A

.

Man zeige, daß H

= E

(H(X)|H) eine erwartungstreue Sch¨ atzung f¨ ur γ(ϑ) ist, deren Varianz die von H(X) nicht ¨ ubersteigt.

3. Ist P P (λ) eine Poissonverteilung mit dem Parameter λ > 0 und X = (X

, X

, . . . , X

) eine mathematische Stichprobe vom Umfang n aus einer P P (λ)-verteilten Grundge- samtheit, so gebe man eine suffiziente Statistik T = T (X) f¨ ur λ hinsichtlich X an und wende Aufgabe 3. auf H(X) = 1I

(X

) an.

4. Es seien (Ω, A , P ) ein statistischer Grundraum mit P = (P

, λ > 0) und (N

, t ≥ 0) unter P

, ein Poissonscher Prozeß mit dem Parameter λ. Man zeige, daß f¨ ur jedes T > 0 die letzte Beobachtung N (T ) suffizient ist f¨ ur P hinsichtlich A

= σ(N

, s ≤ t).

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