auf eine lineare stochastische Differenzialgleichung reduzierbar?

Prof. Dr. Uwe K¨ uchler WS 2005/06 Institut f¨ ur Mathematik

Stochastische Differentialgleichungen 7. ¨ Ubung, 23. 01. 2006

1. Unter welchen Bedingungen an a, b ∈ IR und m, n ∈ IN ist die stochastische Differenzialgleichung

dX _t = aX _t ⁿ dt + bX _t ^m dW _t

auf eine lineare stochastische Differenzialgleichung reduzierbar?

2. Man bestimme die ¨ Ubergangswahrscheinlichkeit IP (t, x, B) der geometrischen Brownschen Bewegung

dX _t = µX _t dt + σX _t dW _t , t ≥ 0, X ₀ = x.

3. Es seien (X _t , t ≥ 0) ein Wienerscher Prozess mit Drift µ ≥ 0 und Diffusions- koeffizient σ 6= 0 sowie a, b ∈ IR mit a < x < b.

a) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit

IP _x (τ _a < τ _b ) mit τ _c := inf{t > 0 : X _t = c}, c = a oder c = b.

b) Weiterhin berechne man

IP x (τ a < ∞), IP x (τ b < ∞), IE x (τ _(a,b) ), IE x (τ a ), IE x (τ b ) mit τ _(a,b) := inf{t > 0 : X _t 6∈ (a, b)}.

c) Mit Hilfe der Formel f¨ ur IP _x (τ _a < ∞) (a < 0) bestimme man die Vertei- lung von

M := min

s≥0 X _s .

4. Es sei Y _t = (t, W _t ), t ≥ 0, wobei (W _t , t ≥ 0) ein reellwertiger Standard Wienerprozess sei.

a) Man zeige, daß (Y _t , t ≥ 0) ein Itˆ o-Diffusionsprozess ist und bestimme seine Ubergangswahrscheinlichkeiten und seinen infinitesimalen Generator ¨ A.

b) Angenommen, (Y _t ) startet in (s, x) ∈ [0, ∞) × IR. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von τ _L und Y _τ

mit L > s und

τ _L := inf{t > 0 : Y _t 6∈ [0, L] × IR}.

c) Ist f eine C ^1,2 ([0, ∞) × IR)-Funktion mit ^∂f _∂t + ¹ ₂ ^∂ _∂x

^f

= 0, so ist f (s, x) =

Z

IR

f(L, x)µ _L ( dx).

Mittels der Ergebnisse von b) ermittle man das Maß µ _L .

5. Es sei (X t , t ≥ 0) eine Itˆ o-Diffusion. Durch

< f, g > _m :=

Z

IR

f (x)g(x)m( dx)

mit f, g ∈ C ₀ ² (IR), m das Geschwindigkeitsmaß von X, ist ein Skalarprodukt auf C ₀ ² (IR) definiert. Man zeige, daß gilt:

< Af, g > _m =< f, Ag > _m , < Af, f > _m ≤ 0.

Bemerkung: A ist ein symmetrischer, nichtpositiver, nicht beschr¨ ankter linea- rer Operator in L ₂ (m) mit C ₀ ² ⊆ D _A ∩ L ₂ (m). (ohne Beweis)

(C ₀ ² (R) = Menge aller zweimal stetig differenzierbaren Funktionen auf R mit

kompaktem Tr¨ ager)