Stochastische Partielle Differentialgleichungen

(1)

Stochastische Integration Stochastische Differentialgleichungen Stochastische Partielle Differentialgleichungen

Stochastische Partielle Differentialgleichungen

Dominic Breit

14.12.2013

(2)

Outline

1 Stochastische Integration

2 Stochastische Differentialgleichungen

3 Stochastische Partielle Differentialgleichungen

(3)

Brwonsche Bewegung (1)

Eine Brownsche BewegungW = (Wt)_t∈[0,T] ¨uber einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P) ist ein zeitstetiger stochastischer Prozess mit folgenden Eigenschaften.

Die Abbildung [0,T]3t7→W_t is P-f.s. stetig;

Es gilt P{W₀ = 0}= 1;

Die Zuwächse sind stochastisch unabhängig, d.h. für

t₃ >t₂ ≥t₁>t₀ sind W_t₃−W_t₂ und W_t₁−W_t₀ unabh¨angig.

Die Zuw¨achseW_t−W_s f¨urt >s sind N(0,t−s) verteilt.

(4)

Brwonsche Bewegung (2)

Abbildung: Brownsche Bewegung

(5)

Das Itˆ o-Integral (1)

F¨ur einen stochastischen Prozess (σt)t∈[0,T] definieren wir

blindtext

Z t

0

σ_sdW_s := lim

N→∞

N

X

i=1

σi−1 N t

Wi

Nt−Wi−1 N t

.

Gegeben sei eine Filtration {F_t,0≤t ≤1} mitF_s ⊂ F_t ⊂ F f¨ur 0≤s ≤t ≤T;

Der Prozess (σt)_t∈[0,T] ist an die Filtration adaptiert, d.h. σt

ist F_t-messbar f¨ur alle t;

Konvergenz in L²(Ω;C⁰([0,T])), falls σ ∈L²(Ω×(0,T);P⊗ L¹).

(6)

Das Itˆ o-Integral (2)

F¨ur einen stochastischen Prozess (σ_t)_t∈[0,T] definieren wir

blindtext

Z _t

0

σ_sdW_s := lim

N→∞

N

X

i=1

σⁱ⁻¹

N t

Wi

Nt−Wⁱ⁻¹

N t

.

Wir erhalten E Rt

0 σ_sdW_s

= 0;

Es gilt falls der Prozess σ bekannt ist Var

Z t

0

σ_sdW_s

(σ_s)_s∈[0,t]

= Z t

0

σ_s²ds;

Stochastische Integrale k¨onnen auch bzgl. allgemeineren Prozessen gebildet werden.

(7)

Differentialschreibwese

Finde stochastischen Prozess (X_t)_t∈[0,T] mit

blindtext

dX_t =µ(t,X_t)dt+σ(t,X_t)dW_t, X(0) =X₀.

µ, σ :R²→R stetig und Lipschitz stetig inX, d.h.

|µ(t,X)−µ(t,Y)| ≤ Lµ|X−Y|;

X0 zuf¨alliger Startwert;

Als SystemX= (X¹, ...,X^N) mitµ:R×R^N →R^N, σ :R×R^N×N →R^N und W= (W¹, ...,W^N).

(8)

Integralschreibweise

Finde stochastischen Prozess (X_t)_t∈[0,T] mit

blindtext

Xt =X0+ Z t

0

µ(s,Xs)ds+ Z t

0

σ(s,Xs)dWs.

Idee: Picard-Ieration.

X_tⁿ:=X0+R_t

0 µ(s,X_sⁿ⁻¹)ds+R_t

0 σ(s,X_sⁿ⁻¹)dWs; Außerhalb einerP-Nullmenge N gilt

sup

t∈(0,T)

|X^m(t)−Xⁿ(t)| −→0, m,n→ ∞;

(XⁿχΩ\N×[0,T]) konvergiert gleichm¨aßig gegen einen stetigen Prozess (Xt)_t∈[0,T].

(9)

Existenzsatz

Theorem

Sei ein Wahrscheinlichkeistraum (Ω,F,P) und eine Brownsche BewegungW = (W_t)_t∈[0,T] ¨uber (Ω,F,P) gegeben. Dann gibt es zu jedemX0 ∈L²(Ω,F₀,P) genau eine starke L¨osung der

stochastichen Differentialgleichung.

Analog zum Staz von Picard-Lindel¨off im deterministischen;

starke L¨osung: X(0) =X0 P-f.s.;

schwache L¨osung: die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von X(0) und X0 stimmen ¨uberein.

(10)

Itˆ o’s Lemma

Seif ∈C²(R) und (X_t)_t∈[0,T_] ein Semi-Martingal

blindtext

f(X_t) =f(X₀) + Z t

0

f⁰(X_t)dX_t+ Z t

0

f⁰⁰(X_t)dhXi_t.

hXi_t ist die quadratische Variation von (Xt)_t∈[0,T]: hXi_t := lim

|Π(t)|→0 m

X

k=1

|X_t_k −X_t_k−1|²; mit Π(t) ={0 =t₀,t₁, ...,t_m =t} Zerlegung von [0,t].

Beispiel: D R·

0σ_sdW_sE

t=Rt 0 σ²_sds.

(11)

W¨ armeleitungsgleichung mit Rauschen

Findeu : Ω×(0,T)×G →Rmit

blindtext

du= ∆u dt+Φ(u)dW_t, u(0) =u₀, u(t) =u₀+

Z t

0

∆u(s)ds+ Z t

0

Φ(u(s))dW_s.

Φ:R→RLipschitz stetig, z.B. Φ(u) =|u|;

u0∈L²(Ω×G;P× L^d) zuf¨alliger Startwert;

F¨ur jedesω∈Ω istu(ω,·,·)→RFunktion in Raum und Zeit.

(12)

Schwache Formulierung

Findeu : Ω×(0,T)×G →Rmit

blindtext

Z

G

u(t)ϕdx = Z

G

u0ϕdx− Z t

0

Z

G

∇u(s)· ∇ϕdx ds +

Z t

0

Z

G

ϕ Φ(u(s))dx dW_s

f¨ur alleϕ∈C₀^∞(G), P× L¹-f.¨u.

u ∈L²(Ω;L^∞(0,T;L²(G)))∩L²(Ω;L²(0,T;W₀^1,2(G)));

Benutze Itˆo’s Lemma f¨ur f(u) = ¹₂R

G|u|²dx.

(13)

Existenzsatz

Theorem

Sei ein Wahrscheinlichkeistraum (Ω,F,P) und eine Brownsche BewegungW = (Wt)t∈[0,T] ¨uber (Ω,F,P) gegeben. Dann gibt es zu jedemu₀∈L²(Ω;L²(G)) genau eine L¨osungu der

stochastichen W¨armeleitungsgleichung.

u₀∈L²(Ω;W^k^,2(G)) ergibt u ∈L²(Ω;C([0,T];W^k,2(G)));

Die Brownsche Bewegung ist nirgendwo differenzierbar ⇒ keine Zeitableitungen vonu;

Beweis: Galerkin-Ansatz, Halbgruppen.

(14)

Galerkin-Ansatz

Schreibeu^N =PN

k=1c_k^N(ω,t)ek(x) mit

blindtext

dc_k =−λ_kc_k+ Z

G

e_kΦ(u^N(s))dx dWs, c_k(0) =

Z

G

u₀e_kdx.

(e_k) ONB desL²(G) aus EV des Laplace-Operators:

Z

G

e_ke_jdx = 1

√λ_k 1 pλ_j

Z

G

∇e_k · ∇e_jdx =δ_kj; System stochastischer Differentialgleichungen f¨ur C^N = (c₁^N, ...,c_N^N).

(15)

Halbgruppen

SeiS die von ∆ erzeugte Halbgruppe

blindtext

(Ku)(t) :=S(t)u₀+ Z t

0

S(t−s)Φ(u(s))dW_s.

ODE: y⁰ =Ay,y(0) =y0 ⇒y =e^tAy0; PDE:∂tu = ∆u,u(0) =u0 ⇒u=e^t∆u0;

Halbgruppe entspricht (S(t))_t∈[0,T] mitS(t) :=e^t∆; Zeige: K hat einen Fixpunkt.