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Stochastische Differentialgleichungen WS2008/2009
Abgabetermin: Donnerstag, 23.10.2008, bis 11.00 Uhr
1. (2P) Geben Sie eine Zufallsvariable X mit E|X|<∞ aber Var(X) =∞ an.
2. (5 Pkt) Beweisen Sie: Wenn X, Y stochastisch unabh¨angige Gaußsche Zufallsvariablen sind, so ist auchX+Y eine Gaußsche Zufallsvariable.
3. (2 Pkt.) Diskutieren Sie die Frage, obX2 auch eine Gaußsche Zufallsvariable ist, wenn X eine ist.
4. (2 Pkt) Zeigen Sie Cov(X, Y)≤p
Var(X)·p
Var(Y) f¨ur Var(X),Var(Y)<∞.
5. (3 Pkt) Es sei X ∼N(0,1). Berechnen Sie E(X4).
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Stochastische Differentialgleichungen WS2008/2009
Abgabetermin: Donnerstag, 6.11.2008, bis 11.00 Uhr
1. (3 Pkt) Die Zahlen E(Xp), p∈N, heißen diep-ten zentralen Momente von X. Beweisen Sie f¨ur Gaußsche Zufallsvariable X ∼N(0, σ2) die Formeln:
E(X2n) = σ2n·1·3·. . .·(2n−1) und E(X2n+1) = 0, n∈N. (1) 2. (2 Pkt) Zeigen Sie unter Verwendung der Formel (1) die Formel E(eX) = eσ2/2 f¨ur X ∼
N(0, σ2).
3. (2 Pkt) Entscheiden Sie begr¨undet, ob die folgende Matrix B Kovarianzmatrix eines Gaußschen Zufallsvektors sein kann:
B = 1 -2 -2 9
4. (4 Pkt) Es sei B = 10 6 6 10
. Berechnen Sie√ B.
5. (2+2+2) Es sei X ∼ N(0,1) und es sei ε eine auf {+1,−1} gleichverteilte, von X un- abh¨angige Zufallsvariable. Zeigen Sie:
a)ε·X ∼N(0,1),
b) Geben Sie ein Argument, warum X~ = (X, εX) kein Gaußscher Vektor sein kann.
c) Finden Sie ein~a∈R2 so, dass Z =hX, ~ai~ keine Gaußsche Zufallsvariable ist.
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Stochastische Differentialgleichungen WS2008/2009
Abgabetermin: Donnerstag, 13.11.2008, bis 11.00 Uhr 1. (3 P) Zeigen Sie, dass die Brownsche Bewegung ein Gauß-Prozess ist.
Hinweis: Es seien t0 = 0≤ t1 < . . . < tn Zeitpunkte. Begr¨unden Sie, warum (∆Btj) ein Gaußvektor ist und stellen Sie dann den Vektor (Btj)j=1,...,n als affine Transformation von (∆Btj) dar.
2. (3 P) Simulieren Sie numerisch 5 Probepfade der Brownschen Bewegung mit σ = 1 und 0≤t ≤1 in einem gemeinsamen Koordinatensystem (t, x), liefern Sie ein Programm und den graphischen Ausdruck ab.
3. (3 P) Simulieren Sie eine 2-dimensionale Brownsche Bewegung mit unkorrellierten Koor- dinaten. Liefern Sie ein Programm und einen graphischen Ausdruck von 3 Probepfaden in einem gemeinsamen Koordinatensystem ab. ¨Außern Sie eine Vermutung, ob der Pfad zum Nullpunkt zur¨uckkehren wird.
4. (3 P) Berechnen Sie die sog. Erwartungsfunktionµ(t) =E(Bt) und die Kovarianzfunktion c(t, s) = Cov(Bt, Bs) f¨ur die Brownsche Bewegung (Bt)t≥0.
5. (3 P) Es sei ϕσ(y) = √1
2πσe−y
2
2σ2 die Dichtefunktion einer zentrierten, normalverteilten Zufallsvariablen. Es seien 0 ≤ t1 < t2 < t3 drei Zeitpunkte und es seien I1, I2, I3 ⊆ R drei Intervalle. Es sei (Bt)t≥0 eine (normalisierte) Brownsche Bewegung. Dr¨ucken Sie P(Bt1 ∈ I1 ∧Bt2 ∈I2∧Bt3 ∈ I3) durch die obige Dichtefunktion und Mehrfachintegrale aus.
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Stochastische Differentialgleichungen WS2008/2009
Abgabetermin: Donnerstag, 20.11.2008, bis 11.00 Uhr
1. (8 P) Beweisen Sie die folgende Charakterisierung der Brownschen Bewegung:
Satz:Ein ProzessW = (Wt)t≥0 ist genau dann eine standardisierte Brownsche Bewegung, wenn die folgenden Bedingungen erf¨ullt sind:
a) W0 = 0,
b)W ist ein Gaußscher Prozess, d.h., f¨ur alle Tupelt1 < t2 < . . . tn ist(Wt1, Wt2, . . . , Wtn) ein Gaußvektor,
c) F¨ur alle t, s≥0 sind EWt= 0 und EWtWs = Cov(Wt, Ws) = min{s, t}, d) alle Trajektorien ω(t) sind stetig f¨ur t≥0.
Hinweis: Bilden Sie zu 0≤t1 < t2 < . . . tn den Vektor
vt1,...,tn =
Wt2 −Wt1
√t2−t1
, . . . ,Wtn−Wtn−1
√tn−tn−1
und zeigen Sie, dass dieser Vektor ein Standard-Gauß Vektor ist. (Denken Sie dabei an Charakterisierungen von Gaußvektoren.
2. (4 P) Es sei B = (Bt)t≥0 die (normalisierte) Brownsche Bewegung. Zeigen Sie, dass der Prozess (Zt) =
tB1
t
t≥0 mit 0·B∞= 0 eine Brownsche Bewegung ist. Sparen Sie dabei die Stetigkeit der Pfade bei 0 aus. Dies wird in der ¨Ubung behandelt.
Hinweis: Weisen Sie die Bedingungen des Satzes aus Aufgabe 1 nach.
3. (4 P) Beweisen Sie den Satz von Borel-Cantelli:
Es sei (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, es sei {An} ⊂ A mit P
nP(An)<∞ und es sei A={ω | ω geh¨ort zu unendlich vielen der An}. Zeigen Sie
a) A∈ A, b) P(A) = 0.
Hinweis: Zeigen Sie zuerstA=
∞
T
m=0
∞
S
n=m
Am.
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Prof. Dr. H. Junek 5. ¨Ubungsblatt
Stochastische Differentialgleichungen WS2008
Abgabetermin: Donnerstag, 27.11.2008, bis 15.15 Uhr
1. (4 Pkt.) Der Prozess X = (Xt)t≥0 mit Xt = Bt − tB1 heißt Brownsche Br¨ucke.
Berechnen Sie die Funktionen µt(X) = E(Xt) (=Erwartungsfunktion) und cX(s, t) = Cov(Xs, Xt) (=Kovarianzfunktion).
2. (6 Pkt.) Es sei (Bt) eine Brownsche Bewegung, und es sei (Ft) die zugeh¨orende nat¨urliche Filtration.
(a) Der durch die Formel Xt =µt+σBt definierte Prozess X = (Xt)t≥0 heißt Brown- sche Bewegung mit Drift. Berechnen Sie die bedingte ErwartungZs =E(Xt|Fs).
Ist (Xt) ein Martingal?
(b) Der Prozess Xt =Bt−tB1, 0 ≤ t ≤ 1, heißt Brownsche Br¨ucke. Skizzieren Sie einen typischen Pfad. Berechen Sie Zt=E(Xt|Ft). Ist (Xt) ein Martingal?
(c) Bestimmen Sie Zs =E(Bt2|Fs) f¨ur alle s≥0.
3. (4 Pkt.) Eine Folge von M¨unzw¨urfen kann als Probepfad eines stochastischen Prozesses X = (Xn)n∈N in folgendem Sinn betrachtet werden: Statt Wappen oder Zahl setzen wir symbolisch -1 bzw. +1. Es sei Ω ={−1, + 1}N, und es seiX = (Xn)n∈N mitXn(ω) =ωn f¨urω = (ωn)∈Ω, d.h.,Xn ist das Ergebnis des n-ten M¨unzwurfes.
a) Ist der Prozess (Gewinnsumme) S = (Sn)n∈N mit Sn =
n
P
k=1
Xk zu (Fn)n∈N adaptiert?
Geben Sie eine Begr¨undung!
b) Was beschreibt der ProzessY = (Yn)n∈N mit Yn=Xn+1? Ist Y zu (Fn)n∈N adaptiert?
c) Unter welchen Voraussetzungen anX ist S ein (diskretes) Martingal?
4. (-2..3 Pkt.) Es sei B = (Bt) eine Brownsche Bewegung mit assoziierter Filtration (Ft)t≥0.
Entscheiden Sie W/F: a) b) c) d) e)
a) F¨urs6=t sind Bt, Bs unabh¨angig.
b) Der Prozess (Xt) mitXt= max
0≤s≤t|Bs| ist adaptiert zu (Ft)t≥0. c) F¨ur allet0 >0 ist auch A= (As)s≥0 mit As =Bt0+s−Bt0 eine BB.
d) Die Brownsche Bewegung mit Drift ist selbst eine BB.
e) Der Prozess (Bt+1)t≥0 ist adaptiert zu (Ft)t≥0.
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Prof. Dr. H. Junek 6. ¨Ubungsblatt (von 12)
Stochastische Differentialgleichungen WS2008/2009
Abgabetermin: Donnerstag, 4.12.2008, bis 15.15 Uhr
1. (3 Pkt) Zeigen Sie die folgende Formel f¨ur das Stratonovich-Integral:
t
Z
0
Bs◦dBs =L2− lim
n→∞
n−1
X
i=0
Bτi(Bti+1 −Bti) = 1
2Bt mit τi = 1
2(ti+1+ti)
2. (2 Pkt) Berechnen Sie Rt
0Bs3 dBs. 3. (2 Pkt) Berechnen Sie Rt
0 1
1+Bs2 dBs. 4. (2 Pkt) Berechnen Sie Rt
0sinBs dBs. 5. (2 Pkt) Berechnen Sie Rt
0BscosBs2 dBs.
6. (4 Pkt)Die reelle Exponentialfunktion f(x) = ex kann als eindeutig bestimmte L¨osung der Integralgleichung
f(t)−1 = Z t
0
f(s)ds
definiert werden. Mann k¨onnte versuchen, eine ”stochastische Exponentialfunktion”f(Bt) durch die Gleichung f(Bt)−1 = Rt
0 f(Bs)dBs zu definieren. Zeigen Sie, dass es keine konvexe, zweimal stetig differenzierbare Funktionf :R→R mit dieser Eigenschaft gibt.
7. (-1..2 Pkt) Es sei (Bt)t≥0 die standardisierte Brownsche Bewegung, es sei (Ft)t≥0 die zugeh¨orige Filtration.
Entscheiden Sie W/F: a) b) c) d)
a) Der Prozess Xt =Rt
0 Bs dBs ist adaptiert zu (Ft)t≥0. b) Der Prozess Xt =Rt
0 Bs dBs ist ein Martingal.
c) Es giltRt
0Bs3 dBs= 14Bt4. d) Die Formel Rt
0 Bs3 dBs = 14(Bt4−3t2) trifft eher zu als Rt
0 Bs3 dBs = 14(Bt4−2t2).
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Prof. Dr. H. Junek 7. ¨Ubungsblatt (von 12)
Stochastische Differentialgleichungen WS2008/2009
Abgabetermin: Donnerstag, 11.12.2008, bis 15.15 Uhr
1. (6 Pkt)(Beziehungen zum Stratonovich-Integral)Beweisen Sie unter den Vorausset- zungenRt
0 Ef(Bs)2 ds,Rt
0Ef0(Bs)2 ds <∞die Formel zur Umrechnung des Stratonovich- Integrals:
t
R
0
f(Bs)◦dBs =
t
R
0
f(Bs)dBs+12
t
R
0
f0(Bs)ds.
Hinweis: Benutzen Sie die Taylorformel.
2. (3 Pkt) Finden Sie eine ”stochastische Exponentialfunktion”Xt=f(t, Bt) mit der Eigen- schaft
Xt−1 = Z t
0
XsdBs bzw. dXt=XtdBt mit X0 = 1.
Diese Funktion heißt ”Itˆo-Exponentialfunktion”.
3. (2 Pkt) Berechnen Sie Rt
0sBs2 dBs.
4. (1+1+1+2 Pkt) Schreiben Sie die folgenden Prozesse als stochastische Integrale in Stan- dardformU(t, Bt)dt+V(t, Bt)dBt:
a) Xt=Bt2, b) Yt= 2 +t+eBt, c)Zt = sinBt, d) Wt =XtZt.
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Prof. Dr. H. Junek 8. ¨Ubungsblatt (von 12)
Stochastische Differentialgleichungen WS2008/2009
Abgabetermin: Donnerstag, 18.12.2008, bis 15.15 Uhr
1. Es sei dXt=−0.1Xtdt+ 0.03dBt mit X0 = 2.4 (Langevin-Gleichung)
(a) (3 Pkt) Erzeugen Sie (z.B. mittels Eulerverfahren) drei Probepfade der L¨osung (Xt) zur gegebenen Gleichung und geben Sie die grafische Darstellung (in einem Koordi- natensystem) ab.
(b) (1 Pkt.) Geben Sie die Erwartungsfunktion zum Prozess (Xt) an.
(c) (4 Pkt.) Bestimmen Sie einen Zeitpunktt0 derart, dass |Xt| ≤0.4 f¨ur allet ≥t0 mit 96%iger Wahrscheinlichkeit eintritt. Kann man auch |Xt| ≤0.2 erreichen?
Hinweis: Die Tschebyscheff-Ungleichung k¨onnte helfen.
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Stochastische Differentialgleichungen WS2008/2009 Abgabetermin: Donnerstag, 8.1.2009, bis 15.15 Uhr
1. (3 Pkt) Geben Sie die allgemeine L¨osung der folgenden SDGL an:
dXt=t·XtdBt+dt.
2. (4 Pkt)(Renten-Model nach Vasicek)Ein h¨aufig verwendetes Standardmodell zur Beschrei- bung des Zinsniveaus (engl.: interest rate) einer Anleihe ist der Prozess (Rt), der durch die SDGL
dRt=c(µ−Rt) dt+σ dBt
beschrieben wird. Hierbei sindc, µ, σ Konstanten, µ heißt Mittel, c ist ein Mass f¨ur die R¨uck- kehrgeschwindigkeit zum langj¨ahrigen Mittel, undσ heißt Volatilit¨at. Geben Sie (Rt) explizit an und bestimmen SieERt und VarRt.
3. (4 Pkt) Bestimmen Sie die Ito-Approximation dX = b dt+σ dBt mit b, σ = const zu dem Datensatz ”messwerte.txt”, zu finden unter
http://users.math.uni-potsdam.de/∼junek/, Rubrik Lehrmaterial, 7. Stoch. DGL.
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Stochastische Differentialgleichungen WS2008/2009 Abgabetermin: Dienstag, 15.1.2009, bis 15.15 Uhr
1. (2 Pkt) Bestimmen Sie den Optionspreis f¨ur ein St¨uck BASF-Aktie zur F¨alligkeit am 23.12.2009, also nach 1 Jahr, auf Grundlage folgender Daten vom 23.12.2008:
Der Wert einer Aktie am 23.12.2008 ist X0 = 26,16Euro, Volatilit¨at = 50,14%, Dividenden- Rendite c=7,3%, Zinsen f¨ur Bundesanleihenr=2,5%, Optionspreis soll 28Euro sein.
2. (3 Pkt) Zeigen Sie unter Verwendung von Formeln aus der Vorlesung, dass der PreisV0put einer Europ¨aischen put-Option der folgenden Formel gen¨ugt:
V0put=V0call+ (e−rTK−X0).
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Stochastische Differentialgleichungen WS2008/2009 Abgabetermin: Donnerstag, 29.1.2009, bis 15.15 Uhr
1. (4 Pkt) Zeigen Sie:
a) ∆|~1x| = 0 aufR3\ {0}, b) ∆ ln|~x|= 0 aufR2\ {0}.
2. (2 Pkt) Dr¨ucken Sie das WienermaßW(A) der Menge
A={f ∈C(0,∞) :f(t1)≤a undf(t2)≤b}mit 0< t1 < t2 <∞ durch uneigentliche Integrale unter Verwendung von Gaußdichten aus.
3. (2 Pkt) Berechnen Sie W(A) mit A gem. Aufgabe 2 f¨ur t1 = 1, t2 = 2 und a =b = 0 auf drei Dezimalen genau (MAPLE hilft rechnen.)
4. (3 Pkt) Zeigen Sie, dass die MengeA ={f ∈C(0,∞) : f ≥0} messbar ist und berechnen Sie W(A).
5. (2 Pkt )Das eindimensionale Dirichletproblem:
Bestimmen Sie mit analytischen Mitteln die L¨osung des 1-dimensionalen Dirichletproblems u00= 0 auf G= (−1,1) mitu(−1) =a, u(1) =b.
6. (4 Pkt) Bestimmen Sie die L¨osung zu Aufgabe 5 mittels Feynman-Kac-Formel.
(Satz 3.12 hilft zur Bestimmung vonP(Bτ =c).)
