Stochastische Differentialgleichungen Prof. Dr. Barbara R¨ udiger

Stochastische Differentialgleichungen Prof. Dr. Barbara R¨ udiger

Bergische Universit¨ at Wuppertal, 21.07.2015 Klausur

Erinnerung:

a) g∈Σ([0, T]), fallsg(s) =Pn−1

k=0gk1A_k(s),Ak ∈ B([0, T]) b) g∈Σ_∞([0, T]), falls g(s) =P

k∈Ngk1A_k(s),Ak ∈ B([0, T]) c) kfk∞= sup_x∈R|f(x)|f¨ur f reellwertige messbare Funktion.

Ubung I:¨

a) Beweisen Sie, dass f¨ur jedeB([0, T])/B(R) -messbare Funktiongeine Folge von Funktioneng_n∈Σ_∞([0, T]) existiert, so dasslim_n→∞kg−g_nk∞= 0 b) Beweisen Sie, dass Σ([0, T]) dicht in Σ_∞([0, T])∩ L²([0, T],B([0, T]), λ) in

der Normk · k_L2 ist.

Ubung II:¨

a) SeienX undY reellwertige Zufallsvariabeln auf (Ω,F, P). Beweisen Sie, dass folgende Aussagen ¨aquivalent sind:

i) X undY sind stochastisch unabh¨angig.

ii) f¨ur jedes A ∈ σ(X) und B ∈ σ(Y) sind 1_A und 1_B stochastisch unabh¨angig.

b) SeienC undDσ-Algebren auf Ω. Beweisen Sie, dassσ(C,D)=σ(A) mit A:={C∩D:C∈ C, D∈ D}

Ubung III:¨

Sei X eine Zufallsvariabel auf einem vollst¨andigem W-Raum (Ω,F, P) mit E[|X|]<∞, undG ⊆ F eineσ-Algebra auf Ω.

a) Geben Sie die Definition von bedingtem Erwartungswert E[X|G] an.

b) Beweisen Sie folgende Eigenschaft: fallsX stochastisch unabh¨angig vonG ist, dann giltE[X|G] =E[X]P -f.s.

Ubung IV:¨ Sei{B_t}_t∈R0

+die zentrierte Brownsche Bewegung auf (Ω,F_T,{F_t}_t∈[0,T], P) mitE[B₁²] =D

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a) Finden Sie einen adaptierten Zufallsprozess {Xs}_s∈[0,T] mit den Eigen- schaften, dass {Rt

0X_sdB_s}_s∈[0,T] gut definiert ist, und (E[Rt

0X_sdB_s])²

=D²t²ist; Begr¨unden Sie Ihre Aussagen.

b) Beweisen Sie, dass{exp(uB_t)/E[exp(uB_t)]}_t∈

R⁺0 eine Martingale auf (Ω,F_T,{F_t}_t∈[0,T], P) ist.

Ubung V:¨

Sei {Sn}n∈N ein Wertpapier, was am 1.1. 2015 1000 Euro Wert ist, und in jedem Monatn∈Nmit Wahrscheinlichkeit 1/3 um 20 Euro sinkt, und mit Wahrscheinlichkeit 2/3 um 10 Euro w¨achst, wobei die Zuw¨achse in jedem Monat stochastisch unabh¨angig sind.

a) Erkl¨aren Sie ob {Sn}_n∈N bzlg der von {Sn}_n∈N generierten Filtration {Fn}_n∈N eine Martingale ist. Beweisen Sie Ihre Aussage.

b) - Falls {Sn}_n∈N keine Martingale bzgl {Fn}_n∈N ist, dann definieren Sie eine Martingale{Mn}_n∈N bzlg{Fn}_n∈N, f¨ur die gilt, dassMn=M4P-f.s.

f¨ur jedesn≥4.

- Falls {Sn}n∈N eine Martingale bzgl {Fn}n∈N ist, definieren Sie eine Filtration{Ln}n∈Nbzgl der{Sn}n∈N keine Martingale ist.

Jede Aussage soll dabei bewiesen werden

Bemerkungen:

Resultate ohne Berechnungen oder Begr¨undung werden nicht anerkannt.

Jede Teil¨ubung wird mit 3 Punkten bewertet, dh insgesamt sind 30 Punkte zu erreichen.

Abgegebene Bl¨atter ohne Namen werden nicht bewertet.

Taschenrechner sind nicht erlaubt

Das Pr¨ufungsamt wird ¨uber T¨auschungsversuche informiert.

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