Prof. Dr. Barbara R¨ udiger
Bergische Universit¨ at Wuppertal, Abgabe 14.01.2016 Ubungszettel VI -W-Theorie ¨
Ubung I:¨
SeiXexponential mit Parameterλverteilt. Finden Sie eine Folge von diskreten Zufallsvariabeln{Xn}n∈Ndie in Verteilung zuX konvergiert.
Ubung II:¨
Finden Sie eine Folge von stetigen Verteilungen, die schwach zur Verteilungδ0
konvergiert Ubung III:¨
Seien Xn, mit n ∈ N gleich verteilte, stochastisch unabh¨angige, positive Zu- fallsvariabeln, mit E[exp(θX1)] = exp(λ(θ)) f¨ur θ ≥ 0. Sei Zn = n1Pn
1Xk. Beweisen Sie, dass
P(Zn> )≤exp(−supθ≥0(θ−λ(θ)) Tipp: Beweisen Sie zuerst eine Ungleichung f¨ur jedesθfixiert.
Ubung IV:¨
Beweisen Sie, dass falls Xn → X in Wahrscheinlichkeit P, und Yn → Y in WahrscheinlichkeitP, dann
a) Xn+Yn →X+Y in WahrscheinlichkeitP, b) XnYn→XY in WahrscheinlichkeitP . Ubung V:¨
Beweisen Sie, dass falls Xn → X in Wahrscheinlichkeit P, und Yn → X in WahrscheinlichkeitP, dannX =Y P -f.s.
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