Prof. Dr. Barbara R¨ udiger
Bergische Universit¨ at Wuppertal, Abgabe 17.12.2015 Ubungszettel V -W-Theorie ¨
Ubung I:¨
Seixn = n1,n∈Z, {cn= n(n+1)c }, undc so definiert, dassµ:=P
ncnδxn eine Verteilung ist. Finden Sie eine Folge von Zufallsvariabeln{Xn}n∈N f¨ur die gilt, dassXn zu 0 inLp(R,B(R), µ) f¨urp= 1 , aber nicht f¨urp= 3/2, konvergiert.
Ubung II:¨
SeiµC die Verteilung mit Verteilungsfunktion die Cantor -Funktion. SeiXn = 2n−11[0,1
3n], f¨urn∈N.
a) Erkl¨aren Sie f¨ur welche p, mit 1≤ p <∞, Xn in Lp(R,B(R), µC) kon- vergiert.
b) Erkl¨aren Sie obXn µC -f.s. konvergiert.
Ubung III:¨
SeiF eine stetige Verteilungsfunktion mit Verteilungµ.
a) Beweisen Sie, dassµ({a}) = 0 f¨ur jedes a∈R.
b) Seiα∈[0,1]. Finden Sie das kleinste, bzw das gr¨osste Intervall A und B so dassµ(A) =α, bzwµ(B) =α.
c) Definieren Sie eineF so, dass diese in [−1,1] konstant ist, und inR\[−1,1]
streng monoton wachsend ist. Berechnen Sieµ([−2,−1]),µ([−1,1]),µ([1,2]).
Ubung IV:¨
Sei (Ω,F, µ) Massraum. Beweisen Sie
a) dass eine F/B(R) messbare positive Funktion genau dann µ- f.s. gleich Null ist, wenn dessen Integral bzglµgleich Null ist
a) f ∈ L1(Ω,F, µ) impliziert|f|<∞µ-f.s.
Ungleichung von Jensen
Seiϕeine konvexe Funktion, X, ϕ(X)∈ L1(Ω,F, P). Dann gilt:
ϕ(E[X])≤E[ϕ(X)]
Bemϕ:R→Rkonvex impliziert 1. Stetigkeit und 2. Monotonie, oder∃a∈R, so dassϕauf ]− ∞, a] monoton sinkend und auf [a,∞[ monoton wachsend ist.
Ubung V:¨
Beweisen Sie die Ungleichung von Jensen f¨ur den Fall, wo die ZufallsvariabelX Werte in einem Intervall [A, B] hat.
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