1. Es sei (X t , t ≥ 0) ein eindimensionaler Diffusionsprozess mit Drift b(·) und Diffusion σ 2 (·). Man bestimme eine stochastische Differenzialgleichung f¨ ur

Prof. Dr. Uwe K¨ uchler WS 2005/06 Institut f¨ ur Mathematik

Stochastische Differentialgleichungen 8. ¨ Ubung, 6. 02. 2006

1. Es sei (X t , t ≥ 0) ein eindimensionaler Diffusionsprozess mit Drift b(·) und Diffusion σ ² (·). Man bestimme eine stochastische Differenzialgleichung f¨ ur

Y _t = p(X _t ), t ≥ 0,

wobei p die Skala von (X _t ) bezeichne, und zeige, daß (Y _t ) eine nat¨ urliche Skala hat.

2. Man zeige, daß die von einer Itˆ oschen Diffusion erzeugte Halbgruppe (T _t , t ≥ 0) stark stetig ist, d.h.

sup

x∈IR

|T _t f(x)−f(x)| −→ ^t↓0 0, f ∈ C ₀ (IR ⁿ ) = {f : IR ⁿ → IR | f stetig, lim

|x|→∞ f (x) = 0}.

3. Es sei (X _t , t ≥ 0) eine geometrische Brownsche Bewegung, d.h., es gelte dX _t = bX _t dt + σX _t dW _t , X ₀ = x > 0. (1) a) Man zeige, daß gilt:

b < σ ²

2 = ⇒ lim

t→∞ X _t ^x = 0 IP -f.s., b > σ ²

2 = ⇒ lim

t→∞ X _t ^x = ∞ IP -f.s., b = σ ²

2 = ⇒ lim inf

t→∞ X _t ^x = 0, lim sup

t→∞

X _t ^x = ∞ IP -f.s.

Hinweis: Man nutze das Gesetz des iterierten Logarithmus f¨ ur den Stan- dard Wienerprozess:

lim sup

t→∞

W _t

√

2t ln ln t = 1 IP -f.s.

b) Man bestimme den infinitesimalen Operator A von (X _t ) auf C ₀ ² (IR).

c) Wie lauten Skala und Geschwindigkeitsmaß?

d) F¨ ur a, b, x mit 0 < a < x < b berechne man die Gr¨ oßen IP _x (τ _a < τ _b ), IP _x (τ _b < τ _a ), IE _x (τ _(a,b) ).

e) Was ergibt sich in c) f¨ ur a ↓ 0 bzw. b ↑ ∞? (Unterscheiden Sie die drei F¨ alle aus Aufgabe a). )

f) Es sei p > 0. Dann gilt:

b < (1 − p)σ ²

2 ⇐⇒ lim

t→∞ IE |X _t | ^p

= 0, b = (1 − p)σ ²

2 ⇐⇒ IE |X _t | ^p

= |x| ^p , ∀t ≥ 0, b > (1 − p)σ ²

2 ⇐⇒ lim

t→∞ IE |X _t | ^p

= ∞.

Hinweis: Man berechne IE |X _t | ^p

mittels der expliziten L¨ osung von (1), siehe 4. ¨ Ubungen.

4. Ist (W _t , t ≥ 0) ein reellwertiger Standard Wienerprozess und λ > 0, so bildet M _t = exp n√

2λW _t − λt o

, t ≥ 0,

ein positives Martingal (Beweis?). Es sei a > 0 und τ _a = {inf t > 0 : W _t = a}.

Dann ist τ _a eine Stoppzeit und f¨ ur jedes u > 0 ist τ _a ∧ u eine beschr¨ ank- te Stoppzeit. Folglich bildet (M _τ

∧u , t ≥ 0) ein beschr¨ anktes Martingal. Man berechne damit

g(λ) := IE (exp {−λτ _a }) , λ > 0.

Die Funktion g(·) ist die Laplacetransformierte der Verteilungsfunktion von τ a :

g (λ) = Z ∞

0

e ^−λt IP (τ a ∈ dt), λ > 0.

Man zeige, daß τ _a die Dichte f (t, a) = a

√

2πt ³ exp

− a ² 2t

, t ≥ 0

besitzt.