Differentialgleichungen f¨ ur Ingenieure WS 06/07

Differentialgleichungen f¨ ur Ingenieure WS 06/07

9. Vorlesung Michael Karow

Thema heute: Laplace-Transformation und Anwendungen

Einf¨uhrung:

Die Laplace-Transformation ist ein Hauptwerkzeug der Regelungstheorie.

Mit ihrer Hilfe kann man z.B. linerare DGL mit konstanten Koeffizienten und lineare Integralgleichungen l¨osen.

Die Laplace-Transformation ordnet jeder geeigneten Funktion f : [0,∞) → C eine Funktion F(s) zu, wobei s eine komplexe Zahl ist.

f(t) 7−→^L F(s), F(s) =

Z ∞ 0

f(t)e^−stdt.

Um die Laplace-Transformation exakt zu definieren, muss man zun¨achst kl¨aren, f¨ur welche f und welche s das Integral existiert.

In dieser VL setzen wir voraus, dass f st¨uckweise stetig und von exponentieller Wachsstumsordnung ist. Dies wird auf den folgenden Seiten genauer erkl¨art.

Funktionen exponentieller Ordnung

Zu einer beliebigen Funktion f : [0,∞) → C _{und α ∈} R betrachten wir die Bedingung Es gibt eine Konstante C > 0, so dass |f(t)| ≤ C e^{α t} f¨ur alle t ≥ 0. (∗)

Weil |f(t)| ≤ C e^{α t} ⇔ |f(t)|e^{−α t} ≤ C kann man (∗) auch so formulieren Die Funktion 0 ≤ t 7→ |f(t)|e^{−α t} ist beschr¨ankt.

Wenn (∗) f¨ur ein bestimmtes α erf¨ullt ist, dann erst recht f¨ur alle ^{α > α.}e

⇒ F¨ur jedes f : [0,∞) → C tritt einer der folgenden F¨alle ein:

1. Es gibt ein α_f ∈ R, so dass die Bedingung (∗) f¨ur jedes α > α_f erf¨ullt ist, f¨ur jedes α < α_f aber nicht.

α f

Bedingung hier nicht erf¨ullt Bedingung hier erf¨ullt

2. Die Bedingung (∗) ist f¨ur jedes α ∈ R _erf¨ullt. (Insbesondere f¨ur alle α < 0.) In diesem Fall setzen wir α_f := −∞.

3. Die Bedingung (∗) ist f¨ur kein α ∈ R _erf¨ullt.

Definition: In den F¨allen 1 und 2 sagen wir, dass f eine Funktion von exponentieller (Wachstums)Ordnung α_f ist.

Beispiele f¨ur Funktionen exponentieller Ordnung

1. Sei f : [0,∞) → C eine Funktion, die nur innerhalb eines endlichen Intervalls [a, b] von 0 verschiedene Werte annimmt. Sei f ausserdem beschr¨ankt, d.h.

|f(t)| ≤ m f¨ur t ∈ [a, b]

Dann gilt f¨ur jedes α ∈ R_,

|f(t)|e^{−α t}

≤ m e^|α|b f¨ur t ∈ [a, b],

= 0 sonst.

Folglich ist t 7→ |f(t)|e^{−α t} f¨ur alle α ∈ R _{beschr¨ankt.}

Somit ist f von exponentieller Wachstumsordnung α_f = −∞.

f

R

a b

m

2. Sei s ∈ C _{und f(t) = p(t)e}^{s t}_{, t ∈ [0,∞}), mit einem Polynom p. Es ist

|e^{s t}| = |e^{(ℜs+iℑs)t}| = |e^{ℜs t}e^{iℑs t}| = |e^{ℜs t}| |e^{iℑs t}|

| {z }

=1

= e^{ℜs t}. und daher

|f(t)|e^{−α t} = |p(t)|e^{ℜs t}e^{−α t} = |p(t)|e^(ℜs−α)t

(beschr¨ankt falls α > ℜs unbeschr¨ankt falls α < ℜs Daher ist f von exponentieller Wachstumsordnung α_f = ℜs

3. Die Funktion f(t) = e^t2 ist nicht von exponentieller Ordnung,

denn die Funktion 0 ≤ t 7−→ |f(t)|e^{−α t} = e^{t2−α t} ist f¨ur alle α ∈ R _{unbeschr¨ankt.}

St¨uckweise stetige Funktionen

Eine Funktion f : [0,∞) → C _{heisst st¨}uckweise stetig, wenn sie in jedem endlichen Intervall h¨ochstens endlich viele Unstetigkeitsstellen hat.

f

t

C

Definition der Laplace-Transformation

Sei f : [0,∞) → C _{eine st¨}uckweise stetige Funktion von exponentieller Ordnung.

Dann existiert das Integral

F(s) = L[f(t)](s) =

Z ∞ 0

f(t)e^−stdt = lim

T→∞

Z T 0

f(t)e^−stdt f¨ur alle s ∈ H_f := {s ∈ C_{; ℜs > αf }. Falls αf = −∞, dann ist Hf =} C_. Anderenfalls ist H_f die Halbebene rechts von α_f.

Die Funktion F : H_f → C heisst die Laplace-Transformierte von f. Die Zuordnung f(t) 7−→^L F(s)

heisst Laplace-Transformation.

s

F

H_f

Im

α _f Re

F(s)

Re

f

C

t

L

Es gilt stets:

• F ist komplex differenzierbar mit F^′(s) = R∞

0 f(t) (−t)e^−stdt f¨ur s ∈ H_f.

• F¨ur alle ω ∈ R_{: limα→∞F(α+ iω) = 0}

Berechnung der Laplace-Transformierten von f(t) = e^{λ t}, λ ∈ C Die exponentielle Wachstumsordnung von f(t) = e^{λ t} ist α_f = ℜλ.

F¨ur alle s ∈ C _{mit ℜs > αf = ℜλ hat man}

F(s) = L[e^{λ t}](s) =

Z ∞ 0

e^{λ t}e^{−s t}dt

=

Z _∞

0

e^(λ−s)tdt

= lim

T→∞

Z _T

0

e^(λ−s)tdt

= lim

T→∞

1

λ − s e^(λ−s)t T

0

.

= 1

λ − s lim

T→∞ e^(λ−s)T

| {z }

=0, weil ℜ(λ−s)<0

− 1

λ − s e| {z }^{(λ−s) 0}

=1

= 1

s − λ.

Schematisch:

e^{λ t} 7−→^L 1 s − λ

Verallgemeinerung des eben gewonnnen Resultats Wir haben eben gesehen, dass

f(t) = e^{λ t} 7−→^L F(s) = 1 s − λ. Allgemeiner zeigt man mit partieller Integration, dass

f(t) = tⁿ⁻¹

(n − 1)! e^{λ t} 7−→^L F(s) = 1

(s − λ)ⁿ, n = 1,2, . . . Setzt man hierin λ = 0, so bekommt man

f(t) = tⁿ⁻¹ (n − 1)!

7−→L F(s) = 1 sⁿ. Speziell f¨ur n = 1 hat man

f(t) ≡ 1 7−→^L F(s) = 1 s.

Linearit¨at der Laplace-Transformation

Seien f, g : [0,∞) → C _st¨uckweise stetige Funktionen exponentieller Ordnung.

Dann ist auch die Linearkombination

h(t) = c1f(t) + c2g(t) c1, c2 ∈ C_,

st¨uckweise stetig und von exponentieller Ordnung (mit α_h ≤ max{α_f, αg}), und f¨ur die Laplace-Transformierten von f, g, h gilt:

H(s) = c1F(s) + c2G(s), f¨ur s ∈ C _{mit ℜs > max{αf, αg}} Andere Schreibweise f¨ur denselben Sachverhalt:

L[c1f(t) + c2g(t)](s) = c1L[f(t)](s) + c2L[g(t)](s) Begr¨undung:

Dies ist nur eine Kurzschreibweise f¨ur die Identit¨at Z ∞

0

(c1 f(t) + c2g(t))e^{−s t}dt = c1

Z ∞ 0

f(t)e^{−s t}dt + c2

Z ∞ 0

g(t)e^{−s t}dt.

Einfache Anwendung der Linearit¨at:

Berechnung der Laplace-Transformierten von e^{α t}cos(ω t) Man hat f¨ur alle α, ω ∈ R_,

e^{α t}cos(ω t) = ℜ

e^(α+iω)t

= 1

2 e^(α+iω)t + 1

2 e^(α−iω)t. Daher ist

L[e^{α t}cos(ω t)](s) = 1

2 L[e^(α+iω)t](s) + 1

2 L[e^(α−iω)t](s)

= 1 2

1

s − (α + iω) + 1 2

1

s − (α− iω)

= 1 2

s − (α− iω) + s − (α + iω) (s − (α + iω))(s − (α − iω))

= s − α

(s − α)² + ω².

Der Verschiebungssatz

Sei f_T : [0,∞) → C die Funktion, die man erh¨alt, wenn man die Funktion f : [0,∞) → C _{um T} Einheiten nach rechts verschiebt und die Werte von f_T im Intervall [0, T) Null setzt:

fT(t) :=

(0 falls 0 ≤ t < T, f(t− T) falls T ≤ t.

f f_T

T

C C

Verschiebung

Es gilt:

L[f_T(t)](s) = e^−sT L[f(t)](s).

Eine einfache Anwendung des Verschiebungssatzes

Wir berechnen die Laplace-Transformierte der Funktion g(t) :=

1 f¨ur T1 ≤ t < T2

0 sonst

mit Hilfe der Laplace-Transformierten F(s) = 1/s der konstanten Funktion f(t) ≡ 1 und des Verschiebungssatzes:

C

T

T₁ T_{2 1} T₂ T₁ T₂

1 1

1

f f_T

g 2

C C

T₁

Es ist g(t) = fT1(t) − fT2(t). Daraus folgt f¨ur die Laplace-Transformierte von g: G(s) = L[f_T1(t)](s) − L[f_T2(t)](s)

= e^−sT1 1

s − e^−sT2 1 s

= 1

s e^−sT1 − e^−sT2 .

Die Umkehrung der Laplace-Transfomation:

Sei f : [0,∞) → C _st¨uckweise stetig mit exponentieller Wachstumsordnung α_f < ∞ und Laplace-Transformierter

F(s) =

Z ∞ 0

f(t)e^−stdt, ℜs > α.

Dann gilt f¨ur alle α > α_f und alle Stetigkeitsstellen t von f, f(t) =

Z _α+i∞ α−i∞

F(s)e^stds = lim

Ω→∞

Z Ω

−Ω

F(α+ i ω)e^{(α+i ω)t}dω.

Folgerung:

Haben zwei Funktionen f1, f2 : [0,∞) → C dieselbe Laplace-Transformierte F, dann stimmen sie an allen Stetigkeitsstellen ¨uberein.

Die Ableitungsregel:

Sei f : [0,∞) → C _eine n-mal differenzierbare Funktion exponentieller Ordnung.

Dann sind auch alle niedrigeren Ableitungen von f exponentieller Ordnung, und es gilt (siehe Skript):

L[f⁽ⁿ⁾(t)](s) = sⁿL[f(t)](s) − f(0)sⁿ⁻¹ − f˙(0)sⁿ⁻² − . . . − f⁽ⁿ⁻²⁾(0)s − f⁽ⁿ⁻¹⁾(0).

Speziell gilt f¨ur die ersten 3 Ableitungen:

L[ ˙f(t)](s) = sL[f(t)](s)− f(0)

L[ ¨f(t)](s) = s² L[f(t)](s)− s f(0)− f˙(0).

L[f⁽³⁾(t)](s) = s³ L[f(t)](s)− s²f(0)− sf˙(0) − f¨(0). Die Integrationsregel:

Sei f : [0,∞) → C _{eine st¨}uckweise stetige Funktion exponentieller Ordnung.

Dann ist die Stammfunktion

t 7−→

Z t 0

f(τ)dτ, t ≥ 0 stetig und ebenfalls von exponentieller Ordnung. Es gilt

L

Z _t

0

f(τ)dτ

(s) = 1

s L[f(t)](s).

Der Faltungssatz:

Die Faltung zweier Funktionen f, g : [0,∞) → C ist eine Funktion f ∗ g : [0,∞) → C_, die wie folgt definiert ist:

(f ∗ g)(t) = Z _t

0

f(t − τ)g(τ)dτ,

vorausgesetzt, das Integral existiert. Die Faltung ist kommutativ, d.h.

(f ∗ g)(t) = (g ∗ f)(t) = Z _t

0

g(t − τ)f(τ)dτ,

F¨ur die Laplace-Transformation von Faltungen gilt:

L[(f ∗ g)(t)](s) = F(s)G(s), wobei F, G die Laplace-Transformierten von f und g sind.

In Worten: Die Laplace-Transformierte der Faltung von f und g ist das Produkt der Lapace-Transformierten von f und g. (Beweis siehe Skript)

Bemerkung: F¨ur Funktionen, die auf ganz R definiert sind, f, g : R _→ C, betrachtet man in anderen Zusammenh¨angen als hier die zweiseitige Faltung

(f ∗ g)(t) =

Z ∞

−∞

f(t− τ)g(τ)dτ.

L¨osung von Aufgaben mittels Laplace-Transformation

Problem im Originalbereich:

Finde Funktion y(t), die bestimmte Bedingungen erf¨ullt.

Z.B.: Lineares AWP mit konstanten Koeffizienten

Transformiertes Problem im Bildbereich

f¨ur Y (s) = L[y(t)](s).

Z.B. algebraische Gleichung

L¨osung Y (s) des trans- formierten Problems

L¨osung y(t) des Originalproblems

L-Transformation L⁻¹-Transformation (R¨ucktransformation)

?

6

l¨osen -

l¨osen (direkt) -

Erinnerung: Partialbruchzerlegung

Sei p(t) = antⁿ + an−1 tⁿ⁻¹ + . . .+ a1t + a0 ein Polynom mit den Nullstellen λ1, λ2, . . . , λr und den Vielfachheiten k1, k2, . . . , kr. Dann ist

p(s) = an(s − λ1)^k1(s − λ2)^k2 . . .(s − λr)^kr.

Sei q(s) ein weiteres Polynom mit Grad(q) < Grad(p). Dann ist die rationale Funk- tion q(s)/p(s) eine Linearkombination der Partialbr¨uche 1/(s − λj)^ℓ, ℓ = 1, . . . , kj − 1. Genauer:

p(s) q(s) =

Xr

j=1

Aj,1

s − λj

+ . . . + A_j,kj−1

(s − λj)^kj−1 + A_j,kj (s − λj)^kj

(∗) mit

A_j,ℓ = q^(kj−ℓ)(λ_j) (kj − ℓ)! hj

, h_j = a_n(λ_j − λ1)^k1 . . .(λ_j − λ_j−1)^kj−1(λ_j − λ_j+1)^kj+1 . . .(λ_j − λ_kr)^kr. Die Funktion 1/(s − λj)^ℓ ist die L-Transformierte von _(ℓ−1)!^tℓ−1 e^λjt.

Wegen Linearit¨at folgt f¨ur die rationale Funktion (∗):

f(t) =

Xr

j=1

A_j,1 + . . . + A_j,kj−1

(kj − 2)! t^kj−2 + A_j,kj

(kj − 1)! t^kj−1

e^λjt

↓ L F(s) =

Xr

j=1

Aj,1

s − λj

+ . . . + A_j,kj−1

(s − λj)^kj−1 + A_j,kj (s − λj)^kj

Anwendung der Laplace-Transformation zur L¨osung einer linearen DGL (Beispiel aus dem Skript)

Anfangswertproblem:

y(t)¨ − 6 ˙y(t) + 9y(t) = t y(0) = 0, y(0) = 1.˙

Laplace-Transformation des AWP:

(s²Y (s) − s y(0) − y(0)) + 6 (s Y˙ (s) − y(0)) + 9Y (s) = 1 s². Einsetzen der Anfangswerte und Aufl¨osen nach Y liefert:

Y (s) = 1 + s²

s²(s² − 6s + 9)

= 1 + s² s²(s − 3)²

= 2/27

s + 1/9

s² + −2/27

s − 3 + 10/9 (s − 3)²

R¨ucktransformation ergibt:

y(t) = 2

27 + 1

9 t − 2

27 e^3t + 10

9 t e^3t.

Anwendung der Laplace-Transformation zur L¨osung einer Integralgleichung (Beispiel aus dem gelben Rechenbuch)

Problem (Integralgleichung): Finde y(t), so dass Z _t

0

sin(t− τ)y(τ)dτ = t sin(t).

Der Faltungssatz ergibt f¨ur die L-transformierte Gleichung:

L[sin(t)](s)

| {z }

=1/(1+s²)

Y (s) = L[t sin(t)](s)

| {z }

=2s/(s²+1)²

.

Umstellen nach Y ergibt:

Y (s) = 2s

s² + 1 = 2L[cos(t)](s).

Also ist

y(t) = 2 cos(t).

Die ¨Ubertragungsfunktion

In der letzten VL wurde bereits erw¨ahnt, dass die allgemeine L¨osung der DGL p

d dt

y(t) = any⁽ⁿ⁾ + an−1 y⁽ⁿ⁻¹⁾ + . . . + a1y(t) +˙ a0 y(t) = b(t). (∗) folgendermaßen geschrieben werden kann:

y(t) = y_h(t) + Z t

0

g(t− τ)b(τ)dτ (∗∗)

Dabei ist y_h die allgemeine L¨osung der homogenen Gleichung. Die Funktion g heisst Greensche Funktion, Grundl¨osung, Gewichtsfunktion oder Impulsantwort.

g ist L¨osung des AWP p

d dt

g(t) = 0, g(0) = ˙g(0) = . . . = g⁽ⁿ⁻²⁾(0) = 0, g⁽ⁿ⁻¹⁾(0) = 1/an.

Folgende grundlegende Tatsache kann zur Berechnung von g benutzt werden:

Die Impulsantwort g ist die R¨ucktransformierte von G(s) = 1/p(s).

Symbolisch:

G ( s ) := 1 p(s)

L⁻¹

7−→ g ( t ) .

Die Funktion G(s) heisst Ubertragungsfunktion.¨

Die Laplace-Transformierte der Dirac’schen δ-Funktion Sei w_k : [0,∞) → [0,∞) eine Dirac-Folge.

Dann gilt f¨ur jede stetige Funktion f : [0,∞) → C_:

k→∞lim Z _∞

0

w_k(t)f(t)dt = f(0).

Allgemeiner f¨ur T ≥ 0:

k→∞lim Z ∞

0

w_k(t − T)f(t)dt = f(T). Insbesondere

k→∞lim L[w_k(t)](s) = lim

k→∞

Z ∞ 0

w_k(t)e^−stdt = e^−s0 = 1, und

k→∞lim L[w_k(t − T)](s) = lim

k→∞

Z _∞

0

w_k(t− T)e^−stdt = e^−sT.

Daher definiert man als Laplace-Transformierte der Dirac’schen δ-Funktion L[δ(t)](s) := 1

und

L[δ(t− T)](s) := e^−sT.