Technische Universit¨ at Berlin – Fakult¨ at II – Institut f¨ ur Mathematik Differentialgleichungen f¨ ur Ingenieure WS 06/07

Technische Universit¨ at Berlin – Fakult¨ at II – Institut f¨ ur Mathematik Differentialgleichungen f¨ ur Ingenieure WS 06/07

Doz.: Dr. M. Karow; Ass.: A. Shumilina http://www.moses.tu-berlin.de/Mathematik/

L¨ osungen zum Rechenteil der Februar-Klausur

1. Aufgabe y

= 1

x y + 5 – linear,

y

= ce

= ce

= cx, c ∈ R , y = cx R

cx

= 5x ln x + ˜ cx, ˜ c ∈ R , y(1) = 3 = ⇒ ˜ c = 3,

y(x) = 5x ln x + 3x.

2. Aufgabe Die Eigenwerte:

1 − λ 3

− 3 7 − λ

= (1 − λ)(7 − λ) + 9 = 7 − 8λ + λ

+ 9 = λ

− 8λ + 16 = 0 = ⇒ λ

= 4.

Eigenvektoren zu λ

= 4:

1 − 4 3

− 3 7 − 4

! u

u

!

= 0 0

!

= ⇒ − 3 3

− 3 3

! u

u

!

= 0

0

!

= ⇒

u

= u

, also z.B. 1 1

! .

Wir m¨ ussen noch einen Hauptvektor suchen.

− 3 3

− 3 3

! w

w

!

= 1 1

!

= ⇒ w

= 3w

+ 1

3 , z.B. 0

1 3

! .

~

x

(t) = e

c

1 1

! + c

0

1 3

! + t 1

1

!!!

.

Ansatz f¨ ur eine partikul¨are L¨osung: ~ x

(t) = a b

! .

0 0

!

= 1 3

− 3 7

! a b

!

+ 1

− 3

! ,

1 3

− 3 7

! a b

!

= − 1 3

!

= ⇒ 1 3 0 16

! a b

!

= − 1 0

!

= ⇒ b = 0, a = − 1.

1

~ x(t) = e

c

1 1

! + c

0

1 3

! + t 1

1

!!!

+ − 1 0

! .

3. Aufgabe

y(x) = c

cos x + c

sin x, y

(x) = − c

sin x + c

cos x.

y(0) − y

(0) = c

− c

= 1, γy(π) − y

(π) = − γc

+ c

= 0.

1 − 1

− γ 1

! c

c

!

= 1 0

!

Bei γ = 1 ist die Determinante der Matrix gleich Null, und das RWP ist unl¨osbar.

Sonst gibt es eine eindeutige L¨osung : y(x) = 1

1 − γ cos x + γ

1 − γ sin x.

4. Aufgabe

L [x](s) =: X(s), L [¨ x](s) = s

L [x](s) − sx(0) − x(0) = ˙ s

X(s) − s + 3, s

X(s) − s + 3 − 9X(s) = 6e

,

X(s

− 9) = 6e

+ s − 3, X = 6e

s

− 9 + 1 s + 3 , 1

s

− 9 = 1 6

1

s − 3 − 1 s + 3

,

e

1

s − 3 − 1 s + 3

= e

L [e

− e

](s) = e

L [2 sinh(3t)](s) =

= L [2u

(t) sinh(3(t − 3))](s), x(t) = 2u

(t) sinh(3t − 9) + e

.

2

5. Aufgabe

tu

= u

, 0 < x < π, t > 1

u

(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 1) = 7 cos

.

Ansatz: u(x, t) = X(x)T (t) = ⇒ tX(x)T

(t) = X

(x)T (t), tT

(t)

T (t) = X

(x) X(x) = λ.

X

(x) = λX (x), X

(0) = X(π) = 0:

I) λ > 0 : X(x) = c

e

+ c

e

, X

(x) = c

√

λe

− c

√

λe

. X

(0) = c

√

λ − c

√

λ = 0 = ⇒ c

= c

.

X(π) = c

e

+ c

e

= c

e

(1 + e

) = 0

= ⇒ c

= c

= 0 = ⇒ X(x) ≡ 0.

II) λ = 0 : X(x) = c

+ c

x, X

(x) = c

.

X

(0) = c

= 0, X(π) = c

= 0 = ⇒ X(x) ≡ 0.

III) λ < 0 : X(x) = c

cos √

− λx + c

sin √

− λx, X

(x) = − c

√

− λ sin √

− λx + c

√

− λ cos √

− λx, X

(0) = c

√

− λ = 0 = ⇒ c

= 0, X(π) = c

cos( √

− λπ) = 0 = ⇒ c

= 0 oder √

− λπ =

+ πn, n ∈ N

. Nichttriviale L¨osungen X

(x) = c

cos((n +

)x)

gibt es also f¨ ur λ

= − (n +

)

, n ∈ N

.

T

(t) = λ

t T

(t) = ⇒ T

(t) = ˜ c

t

= ⇒

u

(x, t) = ˆ c

t

cos((n +

)x) f¨ ur alle n ∈ N

sind L¨osungen der PDG, die die Randbedingungen erf¨ ullen.

u(x, t) = 7t

cos

f¨ ur n = 1 erf¨ ullt auch die Anfangbedingung.

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