Prof. Dr. Uwe K¨ uchler Institut f¨ ur Mathematik
Statistik stochastischer Prozesse 4. ¨ Ubung, 13. 06. 2005
1. Es seien P und Q zwei Wahrscheinlichkeitsmaße auf (Ω, A ) und R := P+Q 2 . Man zeige, dass folgende Eigenschaften gelten:
a) P und Q sind absolutstetig bzgl. R,
b) bezeichnet U die Radon-Nikodym-Ableitung dQ dR , so gilt 0 ≤ U ≤ 2, R-fast sicher
c) P (U = 2) = Q(U = 0) = 0 d) F¨ ur alle A ∈ A gilt:
Z
A
U dP =
Z
A
(2 − U )dQ
(Hinweis: Nach Definition gilt f¨ ur alle A, B ∈ A Z
A
1I B dP = P (A ∩ B) =
Z
A
(2 − U )1I B dR, d. h.
Z
A
ZdP =
Z
A
(2 − U )ZdR (∗)
f¨ ur alle A und alle Indikatorfunktionen Z. Somit auch f¨ ur alle nichtnegativen meßbaren Z, insbesondere f¨ ur Z = U .)
e) Es gilt Q << P genau dann, wenn Q(U = 2) = 0 erf¨ ullt ist. In diesem Fall haben wir mit
L := dQ dP
die Gleichung L(ω) = 2−U(ω) U(ω) f¨ ur R-fast alle ω.
Außerdem gilt E p L = 1.
(Man setze Z = 2−U U in (∗) ein und ¨ uberzeuge sich davon, dass im Fall Q << P ) das Ereignis {U = 2} eine R-Nullmenge ist.)
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2. Es sei X eine Zufallsgr¨ oße mit Werten in [0, 1), die gem¨ aß der Dichtefunktion f X (x) = 2x1I [0,1] (x) verteilt ist. Ferner sei I k,j := [k2 −j , (k + 1)2 −j ) sowie F j :=
σ({X ∈ I k,j }, k = 0, · · · , 2 j − 1). Zeigen Sie, dass die bedingte Erwartung IE[X|F j ] IP -fast sicher eine deterministische Funktion g j von X ist, die konstante Werte auf I k,j annimmt f¨ ur alle k = 0, · · · , 2 j − 1. Bestimmen Sie die jeweilige Konstante und zeichnen Sie g j f¨ ur j = 1, 2, 3, 4 in ein Koordinatensystem. Existiert der Grenzwert lim j→∞ g j , und wenn ja, in welchem Sinn?
3. Es sei (Ω, F, P ) ein statistisches Modell mit P = (P ϑ , ϑ ∈ Θ) und mit einem do- minierenden Wahrscheinlichkeitsmaß P 0 . Weiterhin bezeichne L(ϑ) die Likelihood- funktion (Radon-Nikodym-Ableitung) L(ϑ) = dP dPϑ
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