Kondensierten Materie
Ubungen zur Theoretishen Physik A WS 02/03
Prof. P. Wolfle Blatt 6
Dr. M. Greiter 25.11.02
1. Erzwungene Shwingungen
Geben Sie die allgemeineLosung der Dierentialgleihung
x+!
2
x=f(t) (1)
fur die folgendenFunktionen f(t) an:
(a) f(t)=0
(b) f(t)=ae bt
() f(t)=aos(!t)
(d) f(t)=aos 2
(!t)
(e) f(t)=at 3
+bt 2
Hierbeigilt a;b;!2R.
Hinweis: Die allgemeineLosung einer inhomogenen (f(t)6=0)linearen Dierentialglei-
hungistdurhdieSummederallgemeinenLosungderhomogenenGleihung(f(t)=0)
und einer partikularen Losung gegeben. Verwenden Sie inden Teilaufgaben (b){(e)je-
weilseinen
"
AnsatzvomTypder rehtenSeite\,umeinepartikulareLosungzubestim-
men.
2. Partikulare Losung
Esgilt, eine allgemeineFormel zurBerehnung einer partikularen Losungder Dieren-
tialgleihung (??) herzuleiten.
(a) Shreiben Sie
d 2
dt 2
x+! 2
x=
d
dt +i!
d
dt i!
x
und setzen Sie
y(t)=
d
dt i!
x(t):
Sie erhalten eine inhomogenelineare Dierentialgleihung erster Ordnung fury(t).
Losen Sie diese Dierentialgleihung durh Variation der Konstanten, d.h. durh
einen Ansatz der Form
i!t
analogen Ansatz. Sie erhalten die gewunshte Formel durh Einsetzen des Ergeb-
nisses von (a) in das Ergebnis von (b).
Hinweis: DasErgebnis lautet
x(t)= Z
t
dt 0
e i!(t t
0
) Z
t 0
dt 00
e i!(t
0
t 00
)
f(t 00
): (2)
() Verizieren Sie die Losungsformel (??) furf(t)=at.
Hinweis:
Z
dtte t
= 1
2
e t
(t 1)
3. Theta-Funktion
Fur x6=0 istdie -Funktion deniert durh
(x)= (
1 falls x>0
0 falls x<0
Benutzen Sie die -Funktion, um die Funktion
u(x)= (
1 falls x>a und x<b
0 falls x<a oder x>b
mit a<b furx6=a und x6=b
(a) alsProdukt zweier -Funktionen
(b) alsDierenz zweier -Funktionen
() durh eine einzige -Funktion (und die Betragsfunktion)
