Ein Trapez, 35 ist die obere Breite, 5 ist die untere Breite.

1. Pr¨asenz ¨ubung Geschichte der Mathematik (A. Vohns) Wintersemester 2020/21 1. Bisektion des Trapezes (nach: Ossendrijver, 2018, S. 154f)

Auf dem babylonischen Tafel TMS aus Sousa findet sich folgende Aufgabe (Zahlenangaben sind sexa- gesimal):

Ein Trapez, 35 ist die obere Breite, 5 ist die untere Breite.

Lass zwei Br¨uder es gerecht aufteilen.

(1) 35 mal 35 ist 20,25;

(2) 5 mal 5 ist 25,

(3) zu 20,25 f¨uge es hinzu, es ist 20,50.

(4) Halbiere es, es ist 10,25;

(5) die Teilungsbreite ist die Seite des zugeh¨origen Quadrats: 25.

Wir nehmen zur Vereinfachung an, das Trapez w¨are rechtwinklig und habe eine L¨ange von 1,0 (also 60 dezimal geschrieben). Um 90 ^◦ gedreht k¨onnte man es dann so in ein Koordinatensystem zeichnen (aus den ” Breiten“ werden dabei y-Werte):

a) Ermitteln Sie grafisch die zugeh¨orige

” Teilungsl¨ange“ (x-Wert), bei der die

” Teilungsbreite“ y = 25 erreicht wird.

b) Berechnen Sie die Fl¨acheninhalte des Gesamttrapezes und der beiden entstehenden Teiltrapeze.

c) L¨osen Sie das Problem der

” Teilungsl¨ange und -breite“ mit Mitteln der Integralrechnung, d. h.

finden Sie eine geeignete lineare Funktion f , f¨ur welche sich die Fl¨ache des Gesamttrapezes als A =

Z ₆₀

0

f (x) dx bestimmen l¨asst und ermitteln anschließend dasjenige x ₁ bzw. f (x ₁ ), f¨ur das A ₁ = Z x

0

f (x) dx = 1 2 A gilt.

d) ” Algebraisieren“ Sie das babylonische Bisektions-Verfahren, d. h. ersetzen Sie im Zitat oben in

jedem Schritt die obere Breite durch a und die untere Breite durch b.

2. Arithmetische Progression (nach: Joseph, 2011, S. 108/9) Aus dem Papyrus Rhind stammt folgende Aufgabe (Nr. 64):

Verteile 10 heqat Gerste so an 10 M¨anner, dass der zweite 8 heqat mehr hat als der erste erh¨alt, der dritte 8 heqat mehr als der zweite und so weiter, der Unterschied also immer 8 heqat betr¨agt.

Folgender L¨osungsweg ist angegeben:

1. Durchschnittliche Menge: 10 : 10 = 1

2. Anzahl der Unterschiede: 10 − 1 = 9

3. Nimm die H¨alfte des Unterschieds: 2 ·8 = 16

4. Multipliziere 9 und 16: 2 16

5. Addiere dies zur durchschnittlichen Menge,

erhalte den gr¨oßten Anteil: 1 2 16

6. Subtrahiere dies von der durchschnittlichen Menge,

erhalte den kleinsten Anteil: 4 8 16

7. Die anderen Anteile erh¨altst Du, wenn Du mit dem kleinsten Anteil beginnst und immer den Unterschied dazu z¨ahlst. Die Summe ist 10 heqat Gerste.

Aufgaben:

a) L¨osen Sie die Aufgabe algebraisch, w¨ahlen Sie x f¨ur den kleinsten Anteil.

b) L¨osen Sie mit dem ¨agyptischen Schema die Aufgabe: 10 heqat, 5 M¨anner, Unterschied je 4 heqat c) ¨ Uberlegen Sie: Warum funktioniert das Schema? Wie h¨angt es mit der algebraischen L¨osung zu-

sammen?

3. Agyptische Division ¨ (nach: Damerow und Schmidt, 2007, S. 142 / 178)

F¨ur die Division verwenden die ¨ Agypter ein Verfahren, bei dem die Reziproken ¹ / 2

(¨ublicherweise tran- skribiert als ¹ / 2 = 2, ¹ / 4 = 4, ¹ / 8 = 8, . . .) Verwendung finden. F¨ur eine Aufgabe wie 19 : 8 schrieben sie:

” Rechne mit 8 bis (zum) Finden (von) 19!“ und rechneten:

1 8

/ 2 16

2 4

/ 4 2

/ 8 1

2 4 8 19 Man erh¨alt also schließlich:

19 : 8 = 2 + 4 + 8 = 2 + ¹ / 4 + ¹ / 8

Aufgaben:

d) L¨osen Sie mit diesem Schema die Aufgabe 78 : 24!

e) Im Unterschied zur

” ¨agyptischen Multiplikation“ ist dieses Schema nicht f¨ur alle nat¨urlichen Zah- len a und b anwendbar. Viele Aufgaben lassen sich nur unter großen Schwierigkeiten l¨osen. Die Aufgabe 39 : 27 ist mit dem Verfahren ohne Modifikation nicht l¨osbar. Sie wird l¨osbar, wenn neben dem Verdoppeln und Halbieren andere Operationen zugelassen werden. Versuchen Sie die Aufgabe

” m¨oglichst ¨agyptisch“ (mit m¨oglichst wenigen anderen Operationen) zu l¨osen.

Viel Erfolg!

Quellen: Damerow, P. & Schmidt, S. (2007). Arithmetik im historischen Prozess: Wie

” nat¨urlich“ sind die

” nat¨urlichen Zahlen“? In G. N. M¨uller, H.

Steinbring & E. C. Wittmann (Hrsg.), Arithmetik als Prozess (S. 133–182). Seelze, Klett/Kallmeyer; Joseph, G. G. (2011). The Crest of the Peacock:

Non-European Roots of Mathematics (3. ed.). Princeton, Princeton Univ. Press; Ossendrijver, M. (2018). Bisecting the trapezoid: tracing the origins of a Babylonian computation of Jupiter’s motion. Archive for History of Exact Sciences, 72(2), 145–189

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