8. Klasse TOP 10 Grundwissen 8

(1)

CC BY-SA: www.strobl-f.de/grund8g.pdf

8. Klasse TOP 10 Mathematik 08

Gesamtes Grundwissen mit ¨ Ubungen G

Grundwissen Mathematik 8. Klasse: Die 10 wichtigsten Themen auf jeweils einer Seite!

Zum Wiederholen kann man die ¨Ubungen des Kompakt- ¨Uberblicks verwenden.

8/1 Funktionen verstehen G U¨ L

8/2 Lineare Funktionen G U¨ L

8/3 Proportionalit¨at G U¨ L

8/4 Ungleichungen, Potenzgesetze G U¨ L 8/5 Gebrochen-rationale Funktionen G U¨ L

8/6 Rechnen mit Bruchtermen G U¨ L

8/7 Bruchgleichungen, Aufl¨osen von Formeln G U¨ L 8/8 Wahrscheinlichkeiten, Laplace-Experimente G U¨ L

8/9 Lineare Gleichungssysteme G U¨ L

8/10 Kreis, Prisma, Zylinder G U¨ L

8/K Kompakt- Überblick zum Grundwissen G U¨ L G=Grundwissen, Ü= Übungen, L=Lösungen

(2)

CCBY-SA:www.strobl-f.de/grund81.pdf

8. Klasse TOP 10 Grundwissen 8

Funktionen verstehen 01

Wesentliches Kennzeichen einerFunktionist: Zu jedemx-Wert geh¨ort genau einy-Wert.

Meistens gibt es einen Funktionsterm (eine Formel, siehe auch Terme → grund71.pdf), die angibt, wie man zu einem gegebenen x-Wert den zugeh¨origeny-Wert (Funktionswert) berechnet, z. B. mit der Funktionsgleichung

y = 2x−1

| {z }

Funktionsterm, Bezeichnung z. B.f(x) Durch Einsetzen einigerx-Werte berechnet man eineWertetabelle:

x −2 −1 0 1 2 y −5 −3 −1 1 3 Die Wertepaare (x-Wert, zuge- h¨origer y-Wert), z. B. (−2;−5) usw., stellt man in einem Koordi- natensystem dar:

Funktionsgraph:

Er besteht aus allen Punkten (x;y), f¨ur die die Gleichung y= 2x−1gilt.

- 6

x y

−1 1

0 1

p p p p p p p

A AA K

Nullstelle

6 Hier (auf dery-Achse) ist ¨uberallx= 0

-

Hier (auf derx-Achse) ist ¨uberally= 0

2 3

Wichtig:

• x-Wert gegeben (z. B.x= 2),y-Wert gesucht (gestrichelte Linie im Bild oben):

Einsetzen in die Funktionsgleichung, z. B.x= 2:y= 2·2−1 = 3

• y-Wert gegeben (z. B.y= 4),x-Wert gesucht (Bild rechts):

Einsetzen in die Funktionsgleichung und Aufl¨osen nachx, z. B.y= 4eingesetzt in die Funktionsgleichungy= 2x−1:

4 = 2x−1⇒x= 2,5

- 6

x y

?

4

2,5

• Den Schnittpunkt mit der y-Achse sieht man sofort (Verstehe: Die y-Achse sind Punkte mitx= 0, also Einsetzen vonx= 0iny= 2x−1):(0;−1)

• Schnittpunkte mit derx-Achse heißenNullstellen(Verstehe: Diex-Achse sind Punkte mity= 0, also Einsetzen vony = 0in die Funktionsgleichung):

0 = 2x−1⇒x= ¹₂

Merke: Nullstellen berechnet man, indem man den Funktionsterm gleich 0 setzt und nachxaufl¨ost.

• Ob ein gegebener PunktP (z. B.(−1,5;−4,5)) auf dem Graphen liegt, sieht man durch Einsetzen des x-Werts in den Funktions- term2x−1:

2·(−1,5)−1 =−46=−4,5,P liegt also unterhalb der Geraden.

- 6

x y

−1,5

−4−4,5 Pp

• Hat man zwei Funktionsgleichungen (z. B. y = 2x − 1 und y=−¹₂x+ 2) und sucht manSchnittpunkte, also Punkte(x;y), f¨ur diebeideGleichungen gelten, so muss man die Funktionster- me gleichsetzen:

2x−1 =−¹₂x+ 2⇒ ⁵₂x= 3⇒x= 3·²₅ = 1,2

(Danachy-Wert durch Einsetzen vonxin eine der Funktionsgleichungen; hier:y= 2·1,2−1 = 1,4)

- 6

x y

1,2

HH

HH HH

HH

(3)

BY-SA:www.strobl-f.de/grund82.pdf

8. Klasse TOP 10 Grundwissen 8

Lineare Funktionen 02

Lineare Funktionen haben eine Gleichung von der Form

y=mx+t

% -

Steigungm y-Achsenabschnittt also z. B.

y= ¹₃x+ 2

↑

6

0 1 -

1

x y

2

XX

y Das ist dery-Achsen- abschnittt

Die Zahl, die

”alleine ohne x“ dasteht (die Konstante, hier 2), ist der y-Achsenabschnitt und zeigt, wo die Gerade die y-Achse schneidet (Einsetzen von x = 0,

→Grundwissen 8. Klasse: Funktionen verstehen) Die Zahl, die

”beixdabeisteht“ (der Koeffizient vonx, hier¹₃), ist dieSteigung. Die Steigung

1

3 bedeutet: F¨ur je 1 Schritt nach rechts muss man gleichzeitig ¹₃ nach oben gehen, oder bequemer: 3 nach rechts, 1 nach oben.

6

0 1 -

1

x y

3 -

61 Steigung 1 3

H HH HH H Y

3 nach rechts

1 nach oben

Damit die Zeichnung genauer wird, kann man das Steigungsdreieck mehrmals anh¨angen.

Besonderheiten:

• Steigung ist ganze Zahl, z. B.y = 2x+ 1,5 = ²₁x+ 1,5:

1 nach rechts, 2 nach oben

• Negative Steigung, z. B.y=−2x+ 1,5: Abb. 1 Fallende Gerade: 1 nach rechts, 2 nach unten

• Keine Konstante:y=mx, z. B.y= 1,5x= ³₂x= ³₂x+ 0: Abb. 2

y-Achsenabschnitt ist 0, die Gerade geht durch den Ursprung (Proportionalit¨at)

• Keinx-Term, z. B.y= 2 = 0·x+ 2: Abb. 3 Steigung 0, waagrechte Gerade in

”H¨ohe“ 2

• Steigung 1, z. B.y=x−2 = ¹₁x−2: Abb. 4

• Steigung−1, z. B.y=−x=−¹₁x: Abb. 5

• Wenn die Gleichung der Geraden nicht in der Formy=. . .gegeben ist, so muss man sie zuerst nachyaufl¨osen (z. B.x+y= 0ergibt die Gerade aus Abb. 5).

• Gerade durch zwei Punkte und senkrechte Geraden→ueb82.pdf Abb. 1

- 6

0 1

x y

A A

1,5 -¹

?

−2 y=−2x+1,5

Abb. 2

- 6

0 1

1

x y

6_1,5

y=1,5x

Abb. 3

- 6

0 1

1

x y

2 y=2

Abb. 4

- 6

0 1

1

x y

−2 - 6¹

45^◦ y=x−2

Abb. 5

- 6

0 1

1

x y

@

−45^◦ y=−x

(4)

8. Klasse TOP 10 Grundwissen 8

Proportionalit¨at 03

Direkte Proportionalit¨at(in Zeichen:y∼x)

Beispiel: 1 kg einer bestimmten Obstsorte kostet 2,55 Euro. Jeder Mengex(in kg) ist der zu bezahlende Preisy(in Euro) zugeordnet:

Mengexin kg 0 1 2 3 4 5

Preisyin Euro 0 2,55 5,10 7,65 10,20 12,75 Der Preisykann berechnet werden durchy= 2,55·x.

Zuordnungsvorschrift:x7→y= 2,55·x(Sprich: Jedemxwird zugeordnety= 2,55·x).

6

-x y

0 5

1

1 2

Eigenschaften:

• Dem 2-fachen (3-fachen)x-Wert ist der 2-fache (3-fache)y-Wert zugeordnet.

• Quotientengleichheit: Dividiert man deny-Wert durch denx-Wert, erh¨alt man jeweils den gleichen Wert (im Beispiel: ^y_x = ^2,55₁ = ^5,10₂ =. . .= 2,55).

• Die Zuordnungsvorschrift ist von der Formx7→y=m·x.

mheißt Proportionalit¨atsfaktor (im Beispiel: 2,55).

• Die Punkte im Schaubild liegen auf einer Ursprungsgeraden, d. h. auf einer Geraden durch den Nullpunkt(0|0).

Indirekte Proportionalit¨at(in Zeichen:y∼ _x¹)

Beispiel: Ein Busunternehmer rechnet für den Tagesausflug, den er anbietet, mit Personal- und Benzinkosten von 240 Euro. Wie viele Personen müssen sich, damit diese Kosten ge- deckt sind, für die Fahrt anmelden, wenn der Reisepreis 10 (20, 30, 40) Euro beträgt?

Jedem Reisepreisxist die ben¨otigte Personenzahlyzugeordnet:

Preisxin Euro 10 20 30 40

Ben¨otigte Personenzahly 24 12 8 6

Die Personenzahlykann berechnet werden mity = ²⁴⁰_x . Zuordnungsvorschrift:x7→y = ²⁴⁰_x .

6

-x y

0 10 20

10

q

q q q

p pppppp p p p p

p p p p p p

Eigenschaften:

• Dem 2-fachen (3-fachen)x-Wert ist der ¹₂-fache (¹₃-fache)y-Wert zugeordnet.

• Produktgleichheit: Die Produkte aus x-Wert und zugeordnetem y-Wert ergeben stets den gleichen Wert (im Beispiel:x·y= 10·24 = 20·12 =. . .= 240).

• Die Zuordnungsvorschrift ist von der Formx7→y= ^m_x.

• Die Punkte im Schaubild liegen auf einer Hyperbel.

Jede dieser Eigenschaften eignet sich zumL¨osen von Aufgaben, außerdem die Schlussrech- nung (Dreisatz,→grund59.pdf). Beispiel:

Ein Fuhrunternehmen soll 180 m³Erde abtransportieren. Mit 20 Fuhren hat er schon 120 m³ Erde abgefahren. Wie viele Fuhren sind insgesamt erforderlich?

Es handelt sich hier um eine direkte Proportionalit¨at (bei doppelt so viel Erde braucht man doppelt so viele Fuhren): Abgefahrene Erdexin m³ 7→Zahl der Fuhreny.

L¨osungsm¨oglichkeiten (weitere siehe ueb83.pdf):

• Durch Vergleich derx-Werte:

·1,5→

xin m³ 120 180

y 20 . . .

·1,5→ also. . .= 30

•Durch Aufstellen der Gleichung der Form y=mx. Dabei ist mitx= 120undy= 20:

20 =m·120, alsom = ₁₂₀²⁰ = ¹₆ (siehe unten). Mity= ¹₆xberechnet man nun f¨urx= 180:

y= ¹₆ ·180 = 30.

(Proportionalit¨atsfaktor anschaulich:¹₆Fuhre pro m³)

• Mit Quotientengleichheit: ₁₂₀²⁰ = ₁₈₀^..., also . . . = ₁₂₀²⁰ ·180 = 30 (

”20 verh¨alt sich zu 120 so wie . . . zu 180“).

(5)

8. Klasse TOP 10 Grundwissen 8 Lineare Ungleichungen, Potenzgesetze 04

Ungleichungen

Es gelten die gleichen Regeln wie beim L¨osen von Gleichungen, mit folgender Besonder- heit: Multipliziert/dividiert man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl, so muss das Ungleichungszeichen umgekehrt werden.

Beispiel: −11x+ 3 < 7 | −3

−11x < 4 |: (−11) (!)

x > −₁₁⁴ L=]−₁₁⁴ ;∞[

Die Lösungsmengen sind Intervalle; man schreibt die kleinere Grenze links, die größere rechts; ist die Klammer auswärts gerichtet, so gehört die jeweilige Grenze nicht mehr zum angegebenen Bereich; dagegen z. B. bei ]− ∞; 1] gehört die rechte Grenze 1 noch zum Intervall dazu. Bei ±∞(unendlich) ist die Klammer stets auswärts gerichtet.

Schreibweise auch:{x|x >−₁₁⁴}bzw.{x|x≤1}(Menge allerxmit der Eigenschaft . . . ).

Graphisches L¨osen von (Un-)Gleichungen

Beispiel: Die Gleichung −0,5x− 1,5 = x bzw. Ungleichung −0,5x −1,5 < −0,5 soll graphisch gelöst werden. Man zeichnet zu linker und rechter Gleichungsseite die Funktions- graphen und sucht im Koordinatensystem diejenigenx-Werte, für die die Graphen gleiche bzw. hier kleinerey-Werte liefern, d. h. die Schnittpunkte bzw. den Bereich, in dem hier der Graph der linken Gleichungsseite unter dem der rechten Gleichungsseite verläuft:

6 y

-x 1

0 1 HH

HH HH

HH

HHHl(x) = −0,5x−1,5 r(x) = x

q

−1

l(x) = r(x)hat die L¨osungx=−1

6 y

-x 1

0 1 HH

HH HH

HH

HHHl(x) =−0,5x−1,5 r(x) = −0,5

q

−2

l(x)< r(x)hat die L¨osungx >−2 Potenzgesetze(→grund51.pdf, grund52.pdf, grund64.pdf)

Bedeutung:a⁶ = a·a·a·a·a·a

| {z }

6 St¨uck gleiche Faktoren

, fernera⁰ = 1.

Negative Exponenten sagen:

”Ich stehe im Nenner“:a^−x = 1

a^x, z. B.2⁻³ = ₂¹3 = ¹₈. Auch f¨ur Einheiten und Variablen, z. B.ms⁻¹ = ^m_s.

Bei negativen Exponenten tauschen Zähler und Nenner, z. B. _2bâ−4³ = â³₂^b⁴,(^x₂)⁻² = (²_x)² Rechenregeln: • a^x·a^y =a^x+y. Beispiel:x²·x⁴ =x⁶

a^x :a^y =a^x−y. Beispiel: ^a_a⁵2 =a⁵·a⁻² =a³

• (ab)^x =a^xb^x. Beispiel:(2x)⁻³ = 2⁻³x⁻³ = ¹₈ · _x¹3

(^a_b)^x= ^a_bx^x. Beispiel:(^x₃)⁻⁴ = ^x₃−4⁻⁴ =

1 x4

1 34

= ³_x⁴4 = ⁸¹_x4 = 81x⁻⁴

• (a^x)^y =a^x·y (

”Potenzen potenzieren heißt Exponenten multiplizieren“).

Beispiel:(3⁵)⁻² = 3^5·(−2) = 3⁻¹⁰ Zehnerpotenzen (zur Angabe sehr kleiner Zahlen):

Beispiele:10⁻⁶ = ₁₀¹6 = _{1 000 000}¹ ;3,5·10⁻⁶ m= 3,5· ₁₀¹6 m= 0,000 003 5m= 3,5µm

Manche Taschenrechner (TR) zeigen Zehnerpotenzen im Display z. B. so an: 3,5⁻⁰⁶ ; dies muss aber mit

”10 hoch“ auf das Papier geschrieben werden:3,5·10⁻⁶

Umgekehrt: Eingabe einer Zehnerpotenz mit dem TR: Meist×10^x, Exp- oder EE-Taste.

Beispiel:10⁻¹²= 1·10⁻¹²: Tippe (je nach TR) 1 ×10^x (−) 12 bzw. 1 Exp 12 +/−

Je nach TR kann man die Anzeige von Zehnerpotenzen mit gewissen Tastenkombinationen ¨andern, z. B. ENG.

(6)

8. Klasse TOP 10 Grundwissen 8 Gebrochen-rationale Funktionen 05

Grundformj(x) = ¹_x: Der Graph ist eine Hyperbel: ₆

1 - 1

0 x

y

j

Beispiel:

f(x) = 1

2x−2 + 1,5 Umformung und Definitionsbereich:

f(x) = _2x+2¹ + 1,5 = _2(x−1)¹ + 1,5 =

1 2

x−1 + 1,5 = _x−1^0,5 + 1,5(→grund86.pdf).

Da man nicht durch 0 dividieren darf, der Nenner unten also nicht 0 sein darf, ist2x−2 = 0 verboten, also2x= 2, alsox= 1verboten. Erlaubt sind also alle Zahlen¹ohne die 1:

D= Q\{1}

Wertetabelle(mit Taschenrechner, hier gerundete Werte):

x −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y 1,38 1,33 1,25 1 pppppppppppppppppppp

?2 1,75 1,67

Besonders interessant sind Werte nahe der verbotenen 1 sowie sehr großex-Werte:

x −100 0,5 0,9 1,01 1,1 1,5 100 1000 y 1,495 0,5 −3,5 51,5 6,5 2,5 1,505 1,501

Bedeutung der Zahlena,b,cinf(x) = _x+b^a +c, hiera = 0,5, b =−1,c= 1,5in Hinblick auf den Graphen und besondere Punkte (→grund81.pdf):

Waagrechte Asymptotey= 1,5:

Bei sehr großen x-Werten nähert sich dery-Wert immer mehr dem Wertc= 1,5, d. h. der Graph nähert sich der waagrechten Geraden auf Höhe 1,5.

Senkrechte Asymptote(Pol):

In der N¨ahe der verbotenen Stelle x = −b = 1schmiegt sich der Graph (wegen der betragsm¨aßig sehr großen y-Werte) an die senkrechte Gerade x= 1an.

6

y

-x

1 1 0

q q q q

q

q q q q

1,5

Y

P

N^q

q

f(x) = _x−1^0,5 + 1,5

6 0,5?

1,56 1-

Schnittpunkt mit dery-Achse: Einsetzen vonx= 0, hier:f(0) = ₀₋₁^0,5 + 1,5 = 1, alsoY(0|1).

Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen): Funktionsterm gleich 0 setzen und sich er- gebende Bruchgleichung l¨osen (→grund87.pdf); hier: _x−1^0,5 + 1,5 = 0 | −1,5

0,5

x−1 =−1,5 | ·(x−1)

0,5 =−1,5(x−1), also0,5 =−1,5x+ 1,5, also−1 =−1,5x, somitx= ²₃, alsoN(²₃|0).

Angenehm f¨ur die Berechnung vonyist derx-Wert eine Einheit rechts der Definitionsl¨ucke, hier alsox= 2:f(2) = ₂₋₁^0,5 + 1,5 = 0,5 + 1,5 = 2, alsoP(2|2). Damit ergibt sich:

a = 0,5: Der Graph ist im Vergleich zur Grundfunktion j mit Faktor 0,5 in y-Richtung gestreckt (bei negativemazus¨atzlich an derx-Achse gespiegelt).

b= 1: Der Graph ist dann umbnach links (hier also um 1 nach rechts) verschoben.

c= 1,5: Der Graph ist im Vergleich zuj dann umc= 1,5nach oben verschoben.

1Alle Zahlen, die wir kennen, also in der 8. Klasse rationale ZahlenQ, ab der 9. Klasse reelle ZahlenIR.

(7)

8. Klasse TOP 10 Grundwissen 8

Rechnen mit Bruchtermen 06

• Faktorisiere den Nenner, d. h. schreibe ihn durch Ausklammern als Produkt.

Beispiele: _5x^6x−42−ax = _x(5x−a)^6x−4 _6a−4b^ab = _2(3a−2b)^ab

Tipp: Einen faktorisierten Nenner nicht ausmultiplizieren, wenn es nicht n¨otig ist!²

• Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht 0werden. In obigen Beispielen ist also zu fordern:³x6= 0, x6= ^a₅ bzw. 3a−2b6= 0, alsoa 6= ²₃b

• Richtiges K ¨urzen

K¨urzen darf man nur, wenn in Z¨ahler und Nenner ein Produkt steht. Man muss also zuerst faktorisieren. Beispiel: ^6x−6a_x2−ax = ^6(x−a)_x(x−a) = ⁶_x

Bei Summen und Differenzen darf nicht gek¨urzt werden, z. B. ^6x+a_x2+a oder ^6(x−a)−1_x−a k¨onnen nicht vereinfacht werden.

Ausnahme: Man führt das Ausklammern im Kopf durch und kürzt in jedes Glied der Summe. Beispiele: ^6x−6a_2x2 = ^3x−3a_x2 (mit 2 gekürzt); _x2^5x−ax = _x−a⁵ (mitxgekürzt)

• Addition, Subtraktion

Auf gemeinsamen Nenner bringen (vorher faktorisieren), dann auf gemeinsamem Bruchstrich addieren/subtrahieren (Klammern setzen). Beispiel:

x−3

2x−2 − _2x+2^x−1 + 4 = _2(x−1)^x−3 −_2(x+1)^x−1 +⁴₁ =. . .

(hier wurde zuerst faktorisiert; Hauptnenner ist nun2(x−1)(x+ 1), der erste Bruch wird erweitert mit(x+ 1), usw.:)

. . .= 2(x−1)(x+1)^(x−3)(x+1) −2(x−1)(x+1)^{(x−1)(x−1)} +4·2(x−1)(x+1)

2(x−1)(x+1) = ^x²^{+x−3x−3−}

Klammern setzen!

z }| {

(x²−x−x+1) +8(x²+x−x−1)

2(x−1)(x+1) =

= ^x²^{−2x−3−x}2(x−1)(x+1)²^+2x−1+8x²⁻⁸ = 2(x−1)(x+1)^8x²⁻¹² = _(x−1)(x+1)^4x²⁻⁶

• Multiplikation, Division: Wie gewohnt (wie bei normalen Br¨uchen→grund61.pdf).

Beispiel: _(x+1)(x−1)² : _3x−3¹⁰ = _(x+1)(x−1)² · ^3x−3₁₀ = (x+1)(x−1)·10^2·3(x−1) = _5(x+1)³

• Doppelbr ¨ucheals Quotienten schreiben. Beispiel:

m s m s²

= m s : m

s² = m s ·s²

m = ms² sm = s

1 =s

Meist l¨asst man den ersten Zwischen- schritt weg und schreibt gleich direkt den Nenner des Nenners (hier s²) in den Z¨ahler.

• Vorzeichen

Auf Minusklammern achten (besonders beim Subtrahieren, siehe oben)!

Eventuell kann man in Z¨ahler und Nenner(−1)ausklammern und k¨urzen. Beispiel:

−x−1

−x−7 = ^−(x+1)_−(x+7) = ^x+1_x+7 (

”Minus durch minus ist plus“)

Ein ausgeklammertes Minus des Z¨ahlers oder Nenners darf man auch vor den Bruch schreiben. Beispiel: _−x−1^x = _−(x+1)^x =−_x+1^x (

”Plus durch minus ist minus“) (−1)-Trick: Will man (z. B. um k¨urzen zu k¨onnen) eine Differenz

”umdrehen“, so erreicht man dies durch Ausklammern von (−1). Beispiel: 7−x = −(−7 +x) =

−(x−7), also _2x−14^7−x = ^−(x−7)_2(x−7) = ⁻¹₂ =−¹₂

2Denn z. B. bei(x−2)(x+ 7)sieht man Definitionsmenge usw. viel leichter als beix²+ 5x−14.

3Eventuell empfiehlt es sich, in einer Nebenrechnung (NR) den Klammerausdruck gleich 0 zu setzen. Im

ersten Beispiel: NR:5x−a= 0;5x=a;x=^a₅.

(8)

8. Klasse TOP 10 Grundwissen 8 Bruchgleichungen, Formeln aufl¨osen 07

Bruchgleichungensind solche Gleichungen, in denenxunten im Nenner vorkommt.

Bruchgleichungen l¨ost man, indem man mit dem Hauptnenner (HN) multipliziert.

Beispiel:

x

x−1 −1 = 3

x+ 2 | ·HN Betrachte Nenner:x−1,x+ 2

Definitionsmenge:D= Q\{1;−2}

(Q ohne{1;−2}; 1 und−2sind verboten, da sonst der Nenner 0 wird).

HN = (x−1)(x+ 2)

Bei der Multiplikation mit demHN wird gleichx−1beim Bruch auf der linken Seite und x+ 2auf der rechten Seite gek¨urzt; nicht vergessen, die−1mitHN zu multiplizieren!

x(x+ 2)−(x−1)(x+ 2) = 3(x−1) Diese Gleichung l¨ost man wie gewohnt. Rechne nach:x= ⁵₂

Blick zur¨uck auf die Definitionsmenge: ⁵₂ ist nicht verboten, alsoL={⁵₂} Beachte:

• Nenner faktorisieren:Ausklammern, dann erstHN bestimmen.

• Kreuzweise Multiplizieren

Steht links und rechts des Gleichheitszeichens jeweils nureinBruch (nur dann!), dann wird der linke Nenner auf die rechte Seite und der rechte Nenner auf die linke Sei- te”hin¨ubermultipliziert“. (Diese Methode kann man allgemein anwenden, wenn man zuerst linke und rechte Seite jeweils aufeinenBruchstrich bringt [→grund86.pdf].) Beispiel:

3

x−1 = 2 x+ 1 3(x+ 1) = 2(x−1)

* HH HH Y

• Bruchgleichungen entstehen oft bei der Suche nach Schnittpunkten und Nullstellen bei gebrochen-rationalen Funktionen (→grund85.pdf, ueb87.pdf).

Aufl¨osen von Formeln

Multipliziere, wenn Br¨uche vorkommen, beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner.

Multipliziere Klammern aus.

Bringe bei linearen Gleichungen (d. h. die gesuchte Gr¨oße kommt nicht im Nenner vor und nicht quadratisch [

”hoch 2“] oder ¨ahnlich) alle St¨ucke mit der gesuchten Variablen auf eine und den Rest auf die andere Seite (durch Addition/Subtraktion/siehe auch grund76.pdf).

Klammere die gesuchte Variable aus und bringe den Klammerausdruck durch Division auf die andere Seite.

Beispiel: L¨ose nachR₁ auf:

1 R = 1

R₁ + 1

R₂ | ·RR1R2

Mit dem HauptnennerRR₁R₂ beide Seiten der Gleichung multiplizieren:

R₁R₂ = RR₂ +RR₁ | −RR₁ R₁R₂−RR₁ = RR₂

R1(R2−R) = RR2 |: (R2−R) R₁ = RR₂

R₂−R

(9)

8. Klasse TOP 10 Grundwissen 8 Wahrscheinlichkeiten, Laplace-Experimente 08

Zufallsexperimente lassen sich beschreiben durch Aufzählen aller möglichen Versuchs- ausgänge (Ergebnisse). Diese bilden denGrundraumΩ.

Beispiel: Herr A und Frau B betreten im Untergeschoß eines Kaufhauses den Aufzug und w¨ahlen ihr Ziel (Erdgeschoß, 1., 2. oder 3. Stock). Das Ergebnis

”Herr A m¨ochte in den 2.

Stock, Frau B ins Erdgeschoß“ k¨onnte notiert werden als(2,0)oder als 20; der Grundraum ist

Ω ={00,01,02,03, 10,11,12,13, 20,21,22,23, 30,31,32,33}.

Anzahlder Elemente vonΩ:|Ω|= 16.

Ereignissesind Teilmengen vonΩ.

In obiger Situation z. B.

E₁ =

”Herr A m¨ochte in den 2. Stock, Frau B ins Erdgeschoß“ ={20}

E₂ =

”Herr A m¨ochte in den 2. Stock“ ={20,21,22,23}

E₃ =

”Herr A und Frau B m¨ochten ins gleiche Stockwerk“ ={00,11,22,33}

E₄ =

”Herr A steigt vor Frau B aus“ ={01,02,03,12,13,23}

Gegenereignis

”nichtE“, SchreibweiseE, z. B. E₄ =

”Herr A steigt nicht vor Frau B aus, d. h. A nach B oder A und B im gleichen Stockwerk“ ={00,10,11,20,21,22,30,31,32,33}

Unm¨ogliches Ereignis: Leere Menge{}, z. B.E₃∩E₄ (Schnittmenge: Beides,E₃undE₄) Sicheres Ereignis: GanzΩ, z. B.

”Die Summe der beiden Stockwerksnummern ist<10“ Elementarereignis: Einelementige Teilmenge (besteht nur aus einem Ergebnis), z. B.E₁ Wahrscheinlichkeiten

F¨ur jedes Ereignis gibt man den Grad der Sicherheit an, mit dem man das Eintreten des Ereignisses erwarten kann: Zu jedem Ereignis E hat man eine Wahrscheinlichkeit P(E) zwischen 0 und 100 % = 1.

BeiLaplace-Experimentensind alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich: Es ist dann P(E) = |E|

|Ω| = Anzahl der fürEgünstigen Ergebnisse Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Betrachtet man obige Situation als Laplace-Experiment (was aber zu hinterfragen ist!), so ist z. B.P(E1) = ₁₆¹ = 0,0625 = 6,25%

P(E₄) = ₁₆⁶ = ³₈ = 0,375 = 37,5%

P(E3) = ₁₆⁴ = ¹₄ = 0,25 = 25%

P(E₄) = ¹⁰₁₆ = 0,625 = 62,5%= 1−P(E₄) Allgemein istP(E) = 1−P(E).

Zum Z¨ahlen der ElementevonE bzw. Ωeignet sich ein Baumdiagramm oder das Z¨ahl- prinzip(→grund57.pdf).

In obiger Situation ist z. B.|Ω| = 4·4 (4 Wahlmöglichkeiten für Herrn A, 4 für Frau B),

|E₃|= 4·1(4 Mögl. für A, dann nur noch 1 für B, da sie das gleiche wie A wählen muss).

Weiteres Beispiel: Mit f¨unf geworfenen W¨urfeln soll die

”große Straße“ 23456 (EreignisE) gebildet werden. Hier ist|Ω| = 6·6·6·6·6 = 6⁵,|E| = 5·4·3·2·1 = 5!(5 Mögl. für den ersten Wurf, dann noch 4 für den zweiten usw.), alsoP(E) = ₆^5!5 ≈1,5%.

Gesetz der großen Zahlen: Bei mehrmaliger unabhängiger Durchführung eines Experi- ments kann die relative Häufigkeit (→ grund62.pdf), in wie viel % der Fälle das jeweilige Ereignis eingetreten ist, durchaus schwanken, sie wird sich jedoch auf die Dauer um einen festen Wert stabilisieren, da eventuelle Glücks- oder Pechsträhnen bei einer sehr großen An- zahl von Versuchen nicht mehr ins Gewicht fallen.

(10)

8. Klasse TOP 10 Grundwissen 8

Lineare Gleichungssysteme 09

Beispiel: 2x−3y = 7 (I)

4x+ 5y = −8 (II) Einsetzverfahren

L¨ose eine der Gleichungen nach einer Va- riablen auf und setze in die andere Glei- chung ein:

I nachxaufgel¨ost:x= ⁷₂ +³₂y (I’) In II eingesetzt:4·(⁷₂ +³₂y) + 5y=−8 Jetzt hat man eine Gleichung, die nur noch y enth¨alt (x ist eliminiert worden);

l¨ose diese Gleichung:

14 + 6y+ 5y = −8 y = −2

Berechne die andere Unbekannte durch Einsetzen in I’:

x= ⁷₂ + ³₂ ·(−2) = ¹₂

Die Lösungsmenge enthält genau ein Zahlenpaar als Lösung:

L={(¹₂;−2)}

Additionsverfahren

Schreibe die Gleichungen ordentlich unterein- ander und multipliziere jede Gleichung so, dass die Koeffizienten einer Variablen Gegenzahlen werden; anschließend werden beide Seiten der Gleichungen addiert. Beispiel:

I 2x−3y = 7 ·5

II 4x+ 5y = −8 ·3 I’ 10x−15y = 35 II’ 12x+ 15y = −24

I’+II’ 22x = 11

x = ¹₂

Jetzt Gegenzahlen−15/+15!

Diesen Zwischenschritt schreibt man in der Regel nicht hin, sondern addiert gleich beide Seiten der Gleichungen im Kopf (5·2x+ 3·4x= 22xusw.).

Die andere Unbekannteyberechnet man durch Einsetzen in I oder II:

in I: 2· ¹₂ −3y = 7 y = −2 L = {(¹₂;−2)}

Man hat jeweils Wahlm¨oglichkeiten, welche Variable man eliminiert; w¨ahle geschickt!

Spezialf¨alle

In Ausnahmefällen kann sich ein Widerspruch von der Sorte0 = 1ergeben (dann istL={}) oder eine allgemeingültige Gleichung der Sorte 0 = 0 (dann hat man eigentlich nur eine Gleichung mit unendlich vielen Lösungen).

Graphisches L¨osungsverfahren

Jede Gleichung wird nach derselben Variablen aufgel¨ost; die sich dadurch er- gebende lineare Funktion wird im Koordinatensystem als Gerade dargestellt;

gemeinsame Punkte stellen die gesuchte

”simultane“ L¨osung dar.

Beispiel: Autofahrt einer Mutter (erfahren mit 1_min^km) mit ihrer Tochter (F¨uhrer- scheinneuling mit 0,8_min^km). Die Tochter soll gleich lange wie die Mutter fahren.

Sie wollen eine Strecke von insgesamt 7 km zur¨ucklegen. Wie lange darf die Tochter/die Mutter am Steuer sitzen?

Seixdie Fahrzeit der Tochter in min,ydie der Mutter.

I.x=y

II.0,8·x+ 1·y= 7 Aufgel¨ost nachy: I.y=x

II.y= 7−0,8x

-x 6

y

0 1

1 c

c c

c 4

4

I

II

Der Grafik entnimmt man den Schnittpunkt mitx≈3,9,y≈3,9. Tochter und Mutter d¨urfen je ca. 3,9 min am

Steuer sitzen.

Vorteil des graphischen Verfahrens: Man kann weitere Punkte relativ leicht interpretieren; z. B.(5|3)bedeutet, dass zwar 7 km zurückgelegt werden, aber die Tochter würde länger als die Mutter fahren; bei(5|5)würden Mutter und Tochter gleich lange am Steuer sitzen, aber es würden mehr als 7 km zurückgelegt werden.

(11)

8. Klasse TOP 10 Grundwissen 8

Kreis, Prisma, Zylinder 10

Kreismessung

Mit der Kreiszahl π ≈ 3,14(für Überschlagsrechnungen π ≈ 3) berechnet man für einen Kreis mit Radiusr(= ^d₂ =halber Durchmesser):

Kreisumfangu= 2rπ Kreisfl¨acheA=r²π

Insbesondere gilt also: Bei doppeltem Radiusrist der Umfangudoppelt (Proportionalit¨at), bei 2-fachemrist die Fl¨acheA4-fach (quadratischer Zusammenhang).

Hat man Teile von Kreisen (z. B. Viertelkreis), nimmt man den entsprechenden Bruchteil.

Beispiel: Umfanguund Fl¨acheAder nebenstehenden Figur f¨ura= 4:

Die Figur besteht aus einem Viertelkreis um M₂ mit Radius R= 2aund zwei Viertelkreisb¨ogen umM₁,M₃mitr=a.

u= ¹₄·2Rπ+ 2·¹₄·2rπ = ¹₄·2·2aπ+aπ = 2aπ= 8π≈25,13.

A= ¹₄R²π−2·¹₄r²π−a² = ¹₄(2a)²π−¹₂a²π−a² =

= ¹₄ ·4a²π− ¹₂a²π−a² = ¹₂a²π−a² = 8π−16≈9,13 a a

M₂

r

M₁r ^rM₃

Prisma, Zylinder

Verschiebt man einen-eckige Grundfläche nach oben, so erhält man ein Prisma; es wird begrenzt von den n-Ecken als Grund- und Deckfläche und den Rechtecken, die den Mantel des Prismas bilden.

Bei Verschiebung eines Kreises nach oben entsteht ein Zylinder.

@@ aa

aa 6

6 6 6 6

@@ aa

aa

Schr¨agbild Die nach

”hinten“ laufenden Linien werden unter einem Win- kelω(z. B.ω = 45^◦) und mit Faktorqverk¨urzt (z. B.q= 0,7) dargestellt. N¨utzlich sind hierzu oft Hilfspunkte oder ein

”Ein- sperren“ in ein Rechteck.

Ist z. B. der Grundriss eines Primas das neben- stehende gleichseitige Dreieck mit Seitenl¨ange 2, so kann man mit dem HilfspunktHdie Lage des Punktes C im Schr¨agbild in einer Entfer-

nung von1·qvom PunktH konstruieren. ^"^"

"

""

b b

b bb

rH B

A

C 1 2

Netz

(”Bastelanleitung“) Hilfreich ist hier oft, sich den K¨orper

”auf- geklappt“ oder

”abge- wickelt“ zu denken.

Aus Platzgr¨unden ist das Netz hier jeweils verkleinert dargestellt.

Prisma

ω

B A

H C

h G

Volumen:

Grundfl¨ache·H¨ohe V =Gh

Mantelfl¨ache:

M =uh

(u=Umfang der Grundfl¨ache) Oberfl¨ache:

O =M + 2G

T TT

A G

G

M a n t e l h

B C A⁰

u=AA⁰ Zylinder

Volumen:

Grundfl¨ache·H¨ohe V =r²πh

Mantelfl¨ache:

M =uh= 2πrh Oberfl¨ache:

O =M + 2G=

= 2πrh+ 2r²π

M a n t e l

(12)

CCBY-SA:www.strobl-f.de/grund8k.pdf

8. Klasse T OP 10 Grund wissen 08 K er ns ¨atze K

BlattaufDINA3vergrößern,KarteikartenausschneidenundRückseiteanRückseitezusammenkleben! Funktionenverstehen 81 WiekannmanFunktionsgraphen immerzeichnen? WieberechnetmanNullstellen? WieberechnetmandenSchnitt- punktzweierFunktionen?

LineareFunktionen 82 WiezeichnetmandenGraphen einerlinearenFunktionmitdem Termy=mx+t? Beispiel:y=−3 2x+4 Proportionalit¨at 83 NennevierKennzeicheneinerdi- rektenProportionalit¨at!

Ungleichung,Potenz 84 WasmussmanbeimMult./Div.ei- nerUngleichungbeachten? WasbesagtdernegativeExpo- nent:a−n ? Rechenregeln:ra ·rb =?, (x−3 )−1 =?

Gebrochen-rationaleFunktionen 85 Beispiel:f(x)=2 x+1+3 WelcheBedetunghabendieZah- lena=2,b=1undc=3in diesemBeispiel? L81 Wertetabellegehtimmer. Nullstellen:Funktionsterm=0. Schnittpunkte:Gleichsetzen,Glei- chungl¨osen,y-WertdurchEinset- zenineinenderbeidenTerme.

L82 Steigungm(1nachrechts,m nachoben),y-Achsenabschnittt. y=−3 2x+4 hatSteigung−3 2 (fallend, 2nachrechts, 3nachunten)-

6y x01

1

4

J J J J J J J qq q q q L83 Verdoppelt/ver-k-fachtmandieei- neGr¨oße,dannverdoppelt/ver-k- fachtsichauchdieandereGr¨oße; Ursprungsgerade; Quotientengleichheit; FormelvonderBauarty=mx.

L84 BeimMultiplizieren/Dividieren einerUngleichungmiteiner negativenZahlmussmandas Ungleichungszeichenumdrehen. NegativerExponent:a−n =1 an ra ·rb =ra+b , (x−3 )−1 =x(−3)·(−1) =x3

L85 a:Streckunginy-Richtung b:Verschiebungnachlinks,senk- rechteAsymptote,hieranDefini- tionsl¨uckex=−1. c:Verschiebungnach oben:Waagrechte Asymptote,hiery=3.

6y - x113 RechnenmitBruchtermen 86 WarumbrauchtmaneineDefiniti- onsmenge?(Beispiel:1 2x+1). Wanndarfmank¨urzen? Wieaddiert/subtrahiertman? (Beispiel:1 x+2−1 x). Wiemultipliziert/dividiertman?

Bruchgleichungen 87 Wiel¨ostmanBruchgleichungen? Beispiel:x x−1−1=3 x (D=Q\{0;1}) Wahrscheinlichkeit 88 WieberechnetmaninLaplace- ExperimentenWahrscheinlichkei- ten?

LineareGleichungssysteme 89 WiefunktioniertdasEinsetz-bzw. Additionsverfahren? Beispiel: I3x−2y=0 II5x+3y=38 Kreis,Prisma,Zylinder 810 Kreisumfangu=? KreisflächeA=? ErkläreOPrisma=2G+uh(Netz!) VolumenVPrisma=? OberflächeOZylinder=? VolumenVZylinder=?

L86 DerNennerdarfnicht0werden (Beispiel:D=Q\{−1 2}). K¨urzennurbeiProdukten,nicht beiSummen! Add./subtr.mitgemeins.Nenner (x (x+2)x−x+2 (x+2)x=−2 (x+2)x). Mult./div.wieinder6.Klasse!

L87 Bruchgleichungenl¨ostman,in- demmanmitdemHauptnen- nermultipliziert(oderkreuzweise, wennli.undre.nureinBruch). Beispiel:x x−1−1=3 x|·x(x−1) x2−x(x−1)=3(x−1) x=3x−3;x=1,5;L={1,5}

L88 BildeGrundraumΩ,zählealleEr- gebnissevonΩ(oftZählprinzip!), ebensodiefürdasgesuchteEreig- nisEgünstigenErgebnisse. P(E)=|E| |Ω|= =ZahldergünstigenErgebnisse ZahlallermöglichenErgebnisse

L89 Einsetzverfahren:EineGleichung nacheinerVariablenaufl¨osenund indieandereeinsetzen. Additionsverfahren:Beispiel: I3x−2y=0|·3 II5x+3y=38|·2 19x=76;x=4;y=6 L810 Kreis:u=2rπ,A=r2 π. Prisma:

@ @ - Umfangu

@ @

G

G hPrismenmantel VPrisma=Grundfl¨achemalH¨ohe OZylinder=2r2 π+2rπh VZylinder=r2 πh

(13)

CC BY-SA: www.strobl-f.de/ueb81.pdf

8. Klasse ¨ Ubungsaufgaben 8

Funktionen verstehen 01

1. (a) Wie ¨andert sich die Wertetabelle, wie der Funktionsgraph, wenn man anstelle der Funktiony=x²die Funktiony=x²+ 3betrachtet?

Warum kann man auch ohne Zeichnung etwas ¨uber die Symmetrie der Funktions- graphen sagen?

(b) Wie ¨andert sich die Wertetabelle, wie der Funktionsgraph, wenn man anstelle der Funktiony=x²die Funktiony= 3x² betrachtet?

2. Eine Fahrradverleih erwägt die Anschaffung eines Mountain-Bikes zu 1800 Euro, muss dabei pro Jahr einen Wertverlust von 200 Euro kalkulieren, oder eines Cityrads zu 800 Euro bei 70 Euro jährlichem Wertverlust. Welche anschauliche Bedeutung hat dann der Schnittpunkt der durchy=−200x+ 1800undy=−70x+ 800gegebenen Funktionen? Berechne diesen. Überzeuge dich bei der Berechnung desy-Werts davon, dass beide Funktionsterme das gleiche Ergebnis liefern.

3. Bearbeite f¨ury=−0,5x+ 2: Wertetabelle, Funktionsgraph, Schnittpunkte mitx- und y-Achse, Punkte auf dem GraphenP(2; ?)undQ(?; 5). Gib einen PunktR(100; ?)an, der unterhalb des Funktionsgraphen liegt!

4. Wie k¨onnte man rechnerisch untersuchen, ob sich drei durch die Funktionsgleichungen gegebenen Geraden in einem Punkt schneiden?

5. Wie liegen die durch y = x² + 1 und y = −x² −1 gegebenen Funktionsgraphen zueinander?

6. Finde heraus, welchen Wert der Parameteraim Funktionsterm f(x) = x² −2x+a haben muss, damit der PunktP(−3;−4)auf dem Funktionsgraphen liegt.