CCBY-SA:www.strobl-f.de/grund93.pdf
9. Klasse TOP 10 Grundwissen 9
Pythagoras 03
S
S S
S S
SS
c
b a
Satz von Pythagoras:
In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a, b und der Hypotenuse c gilt
a
2+ b
2= c
2(die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegen¨uber).
Wichtige Anwendungen:
• Aufl¨osen der Formel a
2+ b
2= c
2nach c bzw. a:
c = √
a
2+ b
2a = √ c
2− b
2(Diese Ausdr¨ucke k¨onnen nicht weiter vereinfacht werden und sind insbesonderenicht gleicha+b bzw.c−b)
• Die rechtwinkligen Dreiecke in verschiedenen Lagen erkennen:
Dreht man obiges Dreieck, so erkennt man leicht neben A =
12ch
ceine weitere Formel f¨ur die Fl¨ache des Dreiecks: A =
12ab
a b c
• Anwendung in der Physik:
? S
S SSw
r
=s t
FG FH
FN
In der nebenstehenden Abbildung sind r⊥s, F
Hkt, F
N⊥t und F
G⊥r.
Im großen ¨außeren Dreieck gilt r
2+ s
2= t
2.
Im kleinen inneren Dreieck ist F
N⊥F
Hund daher F
G2= F
N2+ F
H2.
• Durch Einzeichnen von Hilfslinien rechtwinklige Dreiecke erzeugen:
J J
J J
J J
J J
J JJ
r
r
a
q
Beispiel (Abbildung links):
Gegeben sind der Kreisradius r = 5,3 m und der Abstand a = 2,8 m. Gesucht ist q.
L¨osung (Abbildung rechts):
Man zeichnet die punktierte Hilfslinie der L¨ange a ein und erh¨alt damit ein rechtwinkliges Dreieck mit p
2+ a
2= r
2, also p = √
r
2− a
2=
q
(5,3 m)
2− (2,8 m)
2= 4,5 m.
Damit ist q = r − p = 0,8 m.
J J
J J
J J
J J
J JJ
r
r
a
q a
p
q
• Diagonale im Quadrat d
2= a
2+ a
2⇒ d = √ 2a
a d a
• H¨ohe im gleichseitigen Dreieck h
2+ (
a2)
2= a
2⇒ h =
qa
2−
a42=
√3 2
a
T T
T T
T
a 2
h a
• Raumdiagonale im Quader
Betrachte zun¨achst ∆ABD: Dort ist DB
2= a
2+ b
2. Betrachte dann ∆HDB: Dort ist HB
2= DB
2+ h
2. Also ist HB
2= a
2+ b
2+ h
2.
@
@
@ B
B B
B B
B B
B
A BB
D H
